WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Aantal equivalentierelaties

Hallo, ik heb een vraagje

Hoeveel bijectieve equivalentierelaties zitten er in de verzameling V=(a,b,c,d,e)??
Als ik 't allemaal een beetje begrijp dan kan je door eerst de partities te bepalen aan de equivalentierelaties komen. Maar wat is er nu anders als ik de bijectieve equivalentierelaties moet achterhalen?

(is er trouwens een trucje om na te gaan of je 't goede aantal partities hebt? Want volgens mij heeft een verzameling van 3 elementen heeft er 4, een verzameling van 4 elementen 15 en van 5 elementen 18)

iris
Student hbo - zaterdag 11 februari 2006

Antwoord

Dag Iris,

Volgens de definitie (hierzo) geldt: een equivalentierelatie op V is een verzameling van koppels van elementen uit V, met de eigenschappen dat
* (x,x) erin zit voor elke x
* als (x,y) erin zit, dan ook (y,x)
* als (x,y) en (y,z) erin zitten, dan ook (x,z)

Nu vraag je naar BIJECTIEVE equivalentierelaties... Nu kan een afbeelding wel bijectief zijn, maar hier hebben we niet echt met een afbeelding te maken denk ik. Verzamelingen kunnen ook onderling bijectief zijn, als er een bijectieve afbeelding bestaat tussen de twee verzamelingen. Misschien wordt dat hier bedoeld: immers de twee equivalentierelaties
{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)}
en
{(a,a),(b,b),(b,c),(c,b),(c,c),(d,d),(e,e)}
zijn bijectief want de ene gaat in de andere over door a op c af te beelden en c op a.

Misschien wordt dat hier bedoeld: dat je moet tellen hoeveel equivalentierelaties er zijn die 'echt' verschillend zijn, dus hoeveel niet-bijectieve equivalentierelaties er zijn? Dat zou dan neerkomen op het tellen van het aantal verschillend uitziende partities. Bijvoorbeeld, met 3 elementen heb je ofwel de partitie {{a,b,c}},
ofwel {{a},{b,c}} (die bijectief is met {{b},({a,c}} en met {{c},{a,b}}),
ofwel {{a},{b},{c}}.
Deze komen dan overeen met de equivalentierelaties
{(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)}
resp. {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}
resp. {(a,a),(b,b),(c,c)}

Dus feitelijk kan je zo een partitie volledig beschrijven aan de hand van het aantal elementen in elke deelverzameling. De drie voorgaande voorbeelden zijn dan 3 resp. 2,1 resp. 1,1,1.

Dit kan je ook doen voor een verzameling met vier elementen:
4
3,1
2,2
2,1,1
1,1,1,1

En met vijf elementen:
5
4,1
3,2
3,1,1
2,2,1
2,1,1,1
1,1,1,1,1

Dus voor een verzameling met 3, resp. 4, resp. 5 elementen kom ik op 3, resp. 5, resp. 7 niet-bijectieve partities. Voor dit aantal bestaat er een formule (je hebt formules nr 7 en 8 nodig, je zoekt de bn, en je stelt an=1 voor alle n) en een lijst.

Hoe je aan jouw getallen komt is mij niet duidelijk... Je hebt duidelijk de opgave anders geïnterpreteerd. Als je het nog nodig hebt, kan je dan zeggen hoe je eraan kwam?

In de hoop dat je er nog iets aan hebt...

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 18 februari 2006