WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoeveel stompe hoeken heeft een convexe tweeduizendenzes-hoek minimaal?

Hoeveel stompe hoeken heeft een convexe tweeduizendenzes-hoek minimaal?
Jeroen
Student universiteit België - zaterdag 21 januari 2006

Antwoord

Er zijn maximaal drie scherpe (of rechte) hoeken.

Stel immers dat er vier scherpe of rechte hoeken zijn. De diagonalen/zijden tussen de bijbehorende hoekpunten vormen dan een convexe vierhoek met twee diagonalen. De hoeken van deze vierhoek zijn kleiner of gelijk aan de overeenkomende scherp/rechte hoeken uit de oorspronkelijke tweeduizendzeshoek, dit volgt uit de convexheid van de oorspronkelijke veelhoek. Maar in elk geval zijn er twee strikt kleiner - want niet alle vier zijden van de vierhoek kunnen zijden van de tweeduizendzeshoek zijn geweest. Dus we hebben vier hoeken van maximaal 90°, en bovendien twee die zeker kleiner zijn dan 90°. Dit is in tegenspraak met dat de hoekensom van een vierhoek 360° is.

Drie scherpe hoeken kan: begin met een scherphoekige driehoek, vervang één zijde door een heel flauw buigend boogje (dat nog steeds scherpe hoeken maakt met de rechte zijden - dus neem het middelpunt van de bijbehorende cirkel gewoon heel ver weg). Plak de overige hoekpunten allemaal op het boogje, en het is gelukt.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 22 januari 2006