WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Eigenwaarden

als je een eigenwaarde moet berekenen, gebruik je de formule: det(M-eI)=0 zodat er geldt: Mv= ev. ( met M=matrix ,I= eenheidsmatrix en v=vectoren )
maar wat betekent 'eigenwaarden van een matrix' nu concreet?
tessal
Student universiteit België - dinsdag 17 januari 2006

Antwoord

Beste Tessalie,

Eigenlijk heb je het zelf al gezegd, maar misschien is het in woorden duidelijker. Ik neem aan dat je bekend bent met lineaire afbeeldingen, een zeer centraal begrip in de lineaire algebra waar we natuurlijk ook matrices bestuderen. Zo'n lineaire afbeelding kunnen we dan voorstellen met behulp van een matrix.

Beschouwen we nu zo een lineaire afbeelding f, deze neemt als argument een vector en geeft ook een vector terug. Wij zijn nu geïnteresseerd in die vectoren die door f afgebeeld worden op een veelvoud van zichzelf. Dat is precies wat we kunnen uitdrukken als f(v) = lv waarbij die v een vector is en l een getal. Een vector die zich onder deze lineaire afbeelding zo gedraagt heet een eigenvector. De schaalfactor waarmee de vector geschaald worden is hier l en heet de bijbehorende eigenwaarde.

Zoals je ziet is de logische volgorde dat je eerst inziet wat zo'n eigenvector is, een vector die op een veelvoud van zichzelf wordt afgebeeld, de eigenwaarde is dan precies dat veelvoud. Wanneer we de matrix van de lineaire afbeelding beschouwen en we willen deze zaken berekenen, dan gaan we gewoonlijk omgekeerd te werk: we bepalen de eigenwaarden en zoeken dan de bijbehorende eigenvectoren.

Als je ook bekend bent met de concepten van een basis en overgangen tussen verschillende basissen, dan kun je hier een verdere interpretatie aan geven. Als je overgaat op een basis waarvan de vectoren precies de eigenvectoren zijn, dan zal de matrix van de lineaire afbeelding een diagonaalmatrix worden, hetgeen voor vele toepassingen interessant is. Bovendien zijn de elementen in die matrix dan net de eigenwaarden.

Dit was de uitleg op zuiver wiskundig gebied maar je hebt ook heel concrete interpretaties hiervan in verschillende (takken van) wetenschappen zoals mechanica, chemie of theoretische fysica.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 17 januari 2006