WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Homogene differentiaalvgl met reële constante coëff van de laagste orde

Beste Wisfaq,

Ik heb moeite met de volgende opgaven:

(1)
Bepaal de lineaire homogene differentiaalvgl met reële constante coëff van de laagste orde waarvan de gegevn functie een oplossing is. Bepaal bovendien beginvoorwaarden zodat deze oplossing uniek is.
y=x² + e^(2x)*cosx

Ik probeerde het volgende
x² wijst op een wortel r=0 met multitpliciteit 3 (r uit de karakteristieke vgl) voor dit deel van de oplossing zou dan gelden: C1 + C2*x + C3*x² maar dan zou er al vanaf het begin een voorwaarde c2=0 moeten opgelegd worden?
En hoe kan ik het gedeelte e^(2x)*cosx
aanpakken? Dit zou wijzen op comples toegevoegde maar dan zou er cos2x moeten staan ipv cosx?

(2)
Bepaal de unieke even functie die voldoet aan de gewon differentiaalvgl y"""-y""'+4y""-4y"'=0 en dat ook voldoet aan de beginvoorwaarden
y(0)=1
y"(0)=-2
y""(0)=16

Ik deed:
karakteristieke vgl:
r^6-r^5+4r^4-4r^3=0
= r^3(r^3-r²-4r-4)=0
dus r=0 met multipl 3 = C1 + c2*x+c3*x² r=1, mult 1 = C4e^x
r=±2i = C5*cos2x+ C6*sin2x Dit laatste zou moeten juist zijn maar ik snap het niet zo goed want algemeen gesproken is de opl van 2 toeg. im. wortels toch C1*cosbx*e^ax (met a±bi) ?

Dan wordt er ook gesteld dat c2=c4=c6=0 want het is een even functie. Dit kan ik ook niet zo goed vatten... een even functie wil toch zeggen f(x) = f(-x) ?

Zou iemand zo goed willen zijn om me dit uit te leggen aub?

Dank bij voorbaat!

groetjes

Anne
Student universiteit België - vrijdag 6 januari 2006

Antwoord

Beste Anne,

Die x² duidt inderdaad al op een drievoudige wortel r = 0. Je merkt inderdaad terecht op dat de lineaire term verdwenen is, maar ook de constante term! Die ga je moeten laten wegvallen door keuze van de beginvoorwaarden.

Ik ga eerst even in op een vraag die verderop staat. Als je karakteristieke vergelijking complexe oplossingen heeft, dan ga je een e-macht krijgen. Voor het reëel deel laten we dit gewoonlijk zo staan, maar het voor het imaginair deel kunnen we dat herschrijven naar een lineaire combinatie van sinus en cosinus.

Terug naar de eerste opgave, naast die x² staat er nog e^(2x)*cos(x), dit duidt op een wortel van de vorm "a+bi" (zoals je verderop zelf ook in formule geeft, bij de tweede opgave), hier met a = 2 en b = 1, dus een wortel r = 2+i. Omdat alle coëfficiënten reëel moeten zijn zullen we ook de toegevoegde wortel moeten invoeren zodat het geheel weer reëel wordt. Met wortels 2+i en 2-i geeft dit factoren (r-(2+i))(r-(2-i)). Samen met de r³ die al nodig was geeft dit:

KV: r³(r-(2+i))(r-(2-i)) = r⁵ - 4r⁴ + 5r³

Hiermee kan je dan een lineaire, homogene DV met constante coëfficiënten associëren. Door herhaaldelijk afleiden van de opgegeven oplossing en het invullen van x = 0 (bijvoorbeeld, dat maakt het gemakkelijk) vind je beginvoorwaarden (van de vorm y(0) = a, y'(o) = b, ...) die je oplossing uniek zullen bepalen. Met de eerste vier beginvoorwaarden van deze vorm had ik jouw unieke oplossing. Als je natuurlijk direct voorwaarden op je constanten mag leggen (zoals de constante die bij de lineaire term hoort gelijk aan 0, etc) dan is het nog gemakkelijker.

Wat de tweede vraag betreft: wanneer de oplossing zuiver imaginair is kan je de oplossing herschrijven als een lineaire combinatie van sin & cos, ipv met de e-macht. Merk op dat in jouw formule de a hier ook 0 is, zuiver imaginaire wortels dus.

Daarnaast weten we dat een som van even functies terug even is, dus als je alle termen die geen even functies zijn kan laten wegvallen, dan is het geheel even. Bij c2 hoort de lineaire term in x (oneven), bij c4 hoort e^x (niet even) en bij c6 hoort sin(2x) (oneven). Uiteraard zijn cos(2x) en x² even functies.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 6 januari 2006

Re: Homogene differentiaalvgl met reële constante coëff van de laagste orde