WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Asymptoten

asymptoten voor f(x)= x[(x-1)/(x+1)]^.5

Dom: \[-1,1[
Vertikale asymptoot: Intuitif is x=-1 een V.A. want f(-1)=-¥. Nu uit de berekeningen kom ik aan de volgende bewerking:
lim(x--1)(vanaf links !) geeft 0/0 als je f(x) = [(x³-x²)^.5]/[(x+1)^.5]
en via de regel van Hopital krijg ik 0 i.p.v. -¥!
Waar is mijn fout?(t'is al 20 jaar geleden hoor !)

Er is geen H.A.

Volgens mij is er wel een schuine asymptoot omdat naarmate je naar x laat stijgen in waarde je f(x)= x-1 bekomt!
Nu volgens de formule lim(x-+¥)f(x)/x krijg ik a=1 !
Maar voor coëfficient b loopt het weer mis: de lim geeft als resultaat ¥-¥ !
Nogmaals het funktie voorschrift voor alle duidelijkheid:

xÖ[(x-1)/(x+1)]

P.S. Op internet heb ik al eens hier en daar met software toepassingen de funktie getekend, er is zelfs een programma dat mij doodleuk vertelde dat er geen V.A. was want -1 is niet in het domein !?!

Jean-P
Ouder - vrijdag 17 juni 2005

Antwoord

Beste Jean-Pierre,

Je domein klopt en je intuitie ook, er is een VA in x = -1. Vermits de functie niet gedefinieerd is rechts van -1, moet je de limiet langs links nemen, zoals je zelf al aangaf.
Ik begrijp echter niet hoe jij aan de onbepaaldheid 0/0 komt waar je dan L'Hopital op toepast, volgens mijn wordt de teller onder de wortel -2, en niet 0.
De noemer, x+1, gaat naar 0 langs de negatieve kant als je van links komt, dus als breuk gaat dat naar ¥. Met de x voor de breuk gaat het geheel dus naar -¥ en dat klopt ook. Je hebt dus een VA op x = -1 en de functie nadert naar -¥, links van de asymptoot.

Er is geen HA, dat klopt eveneens. Je a-waarden voor de eventuele SA kloppen ook, die is zowel links als rechts gelijk aan 1. Voor de waarden van b, die je kan vinden door de lim(x®¥) f(x) - ax te nemen zal je eerst de onbepaaldheid ¥-¥ vinden.
Als je echter de gemeenschappelijke factor x buiten brengt, dan krijg je een nieuwe onbepaaldheid, namelijk ¥*0.
Hier bestaat truukjes voor om over te gaan op een onbepaaldheid waar je L'Hopital op kan toepassen, bvb door de limiet te nemen naar f(x)/(1/g(x)) ipv f(x)g(x).

De limiet voor x®¥ van xÖ((x-1)/(x+1)) - x zal -1 zijn waarmee je een schuine asymptoot vind: y = x - 1. Dat is ook duidelijk te zien op de grafiek:

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 18 juni 2005

Re: Asymptoten