De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Bewijs poollijn, punt en ellips

Gegroet ,

met volgend bewijs zit ik in de knoop :

Bewijs dat een punt tot zijn poollijn tov een ellips behoort , asa het punt tot de ellips behoort

Verwarrend , niet ? Kunne jullie me even op weg zette

dirk
3de graad ASO - donderdag 5 mei 2005

Antwoord

beschouw deze tekening:



Eerst en vooral, de poollijn van een punt (P) tov een ellips is de verbindingslijn tussen de twee raakpunten (A en B) van de raaklijnen aan de ellips door dat gegeven punt.

Zoals de stelling er nu staat gaat het dus in twee richtingen

We beginnen met:
Punt P ligt op de poollijn = P ligt op de ellips.
Bewijs: P ligt op de raaklijnen aan de ellips door P, en P ligt ook op de verbindingslijn tussen die twee raakpunten A en B (de poollijn). Het punt P ligt dus op 3 rechten die bijgevolg collineair zijn ( de rechten AB, PB en PA). Maar PA en PB hebben P gemeen, AB en PA hebben A gemeen, en AB en PB hebben B gemeen. Dus vallen A, B en P samen, aangezien A en B raakpunten waren, is P ook een raakpunt, en ligt dus op de ellips.

Omgekeerd:
Punt P ligt op de poollijn = P ligt op de ellips.
Bewijs:
Als P op de ellips ligt, dan is de enige raaklijn aan de ellips vanuit P de raaklijn in het pun P zelf. De verbindings lijn van de raakpunten is dus weer die raaklijn. De poollijn is dus de raaklijn, en P ligt daarop.

QED

Koen

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 5 mei 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3