WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hausdorfmetriek op compacte verzamelingen

We moeten bewijzen dat
h( AUB , CUD ) = max{ h(A,C) , h(B,D) }
waar is in de fractalruimte,

met h gedefinieerd als h(A,B) = max{ d(A,B), d(B,A) }
met d de euclidische afstand tussen verzamelingen. (U staat hierboven voor de Unie van de verzamelingen A,B,C,D)

Deze euclidische afstand is gedefinieerd als:
(x,y punten; A,B verzamelingen)
d(x,A) = inf{ d(x,y) : y€A }
d(A,B) = sup{ d(x,B) : x€B }

Zouden jullie me daar bij kunnen helpen?
Alvast bedankt,
Marie
Student universiteit - dinsdag 3 mei 2005

Antwoord

Allereerst geven we 2 lemma's:
lemma 1: d(AÈB,C)=max{d(A,C),d(B,C)}
lemma 2: d(A,BÈC)=d(A,B) en d(A,BÈC)=d(A,C)

Lemma 1 is eenvoudig af te leiden uit de definitie voor d(A,B). Op dezelfde wijze krijg je uit de definitie voor d(x,A): d(x,AÈB)=min{d(x,A),d(x,B)}, waaruit lemma 2 vervolgens is af te leiden.

Met behulp van lemma 1 kunnen we nu schrijven:
h(AÈB,CÈD) =
max{d(AÈB,CÈD),d(CÈD,AÈB)} =
max{d(A,CÈD),d(B,CÈD),d(C,AÈB),d(D,AÈB)}

Verder geldt:
max{h(A,C),h(B,D)} =
max{d(A,C),d(C,A),d(B,D),d(D,B)}

Met lemma 2 krijgen we nu:
d(A,CÈD)=d(A,C)
d(B,CÈD)=d(B,D)
d(C,AÈB)=d(C,A)
d(D,AÈB)=d(D,B)

Elk van de 4 termen in het eerste maximum is dus kleiner of gelijk dan 1 van de termen in het tweede maximum, en dus moet hun maximum ook kleiner dan of gelijk zijn aan het tweede maximum, Q.E.D.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 4 mei 2005