WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

M-test van Weierstrass

Hallo,

kan men mij bewijzen adhv de M-test van Weierstrass dat de reeks\sum(aⁿ)/n! convergeert?

Met vriendelijke groet
Marina
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 19 april 2005

Antwoord

Uit wat je me hebt opgestuurd, blijkt dat je de opgave verkeerd hebt geinterpreteerd.

Van de reeks \sumxⁿ/n! wordt beweerd dat ze uniform convergeert op intervallen van de vorm [-a,a]. Om dit met de M-test van Weierstrass aan te tonen moet je een andere reeks \sumM(n) vinden, waarvoor |xⁿ/n!|<=M(n), waarbij \sumM(n) convergeert. Er wordt voorgesteld M(n)=aⁿ/n! te kiezen, en inderdaad, voor die M(n) geldt de gevraagde ongelijkheid.

Maar er is nog een tweede voorwaarde die vervuld moet worden. De \sumM(n) moeten op zich (gewoon) convergeren. Dat is het stuk dat aan jou, de lezer, werd overgelaten.

Hiervoor kan je eenvoudig de verhoudingstest (ook wel ratiotest) gebruiken. Aangezien

M(n+1)/M(n) = a/(n+1)

voor elke a limiet 0 heeft wanneer n\to\infty en 0 kleiner is dan 1, de grenswaarde voor toepassing van de ratio-test, convergeert \sumM(n). Volgens Weierstrass convergeert \sumxⁿ/n! dan uniform op de intervallen [-a,a].

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 20 april 2005