De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Binomium van newton en driehoek van pascal

Hallo,

Hoe bewijs ik met behulp van volledige inductie dat er een verband is tussen het binomium van Newton en de driehoek van pascal? Ik hoop dat U mij kunt helpen...

Groetjes Hanneke

Hannek
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 13 april 2005

Antwoord

De getallen in de driehoek van Pascal kunnen we als volgt definieren.
Noem het k-de getal op de n-de rij D(n,k).
Dan geldt:
D(n,k)=1 als k=0 of als k=n.
D(n+1,k)=D(n,k-1)+D(n,k) als 1kn.
Hieruit volgt bijvoorbeeld dat D(2,1)=D(0,1)+D(1,1)=1+1=2.

De coefficienten in het binomium van Newton kunnen we als volgt definieren:
Noem P(n,k) de coefficient van an-kbk in de ontwikkeling van (a+b)n
Dan geldt
P(n,k)=1 als k=0 of k=n.
P(n,k)=n!/(k!(n-k!)) als 1kn-1
Voor P(2,1) krijgen we dus 2!/(1!1!)=2. Dit is hetzelfde getal als D(2,1).
Dus geldt D(2,k)=P(2,k) voor 0k2.
Nemen we nu aan dat P(n,k)=D(n,k) voor zekere n en voor alle k met 0kn.
We willen nu bewijzen dat dan ook P(n+1,k)=D(n+1,k)
Genoeg is dan om te bewijzen dat geldt:
P(n+1,k)=P(n,k-1)+P(n,k).
P(n,k-1)=n!/((k-1)!(n-k+1)!)=k*n!/(k!(n-k+1)!)
P(n,k)=n!/(k!(n-k)!)=(n-k+1)*n!/(k!(n-k+1)!).
Dus P(n+1,k)=(k+n-k+1)*n!/(k!(n-k+1)!)=(n+1)!/(k!(n+1-k)!, waarmee het bewijs is geleverd.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 14 april 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3