WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bepalen convergentie

In mijn boek "getal en ruimte VWO NT7" blad 77 opgave 38:
f(x)=(2/wortel3).x. sin(0,1x)domein tussen 0 en10 pi.
Voor welke c op dit interval convergeert un naar dezelfde grenswaarde als bij c =25.(grenswaarde blijkt 20 pi/3 te zijn)
Mijn probleem: boek geeft als antwoord 10,47 c 28,13.

Maar volgens mij (toepassing contractie-stelling op rechterdekpunt: 20pi/3) geeft aan dat f(x) het rechter deel van het vlindergebied verlaat bij x=25,54. Volgens mij zou dan ook moeten gelden dat voor x 25,54 geen convergentie optreedt. Maar kennelijk is dat volgens het boek niet het geval en mijn wiskundeleraar ondersteunt mening boek.Ik snap niet hoe de contractiestelling hier ogenschijnlijk in tegenspraak is met de "realiteit".
jos bi
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 12 april 2005

Antwoord

Bekijk eens onderstaand plaatje.
Je ziet dat f drie dekpunten heeft.
Ook is het rechterdeel van het "vlindergebied" bij het rechterdekpunt getekend.
Er zijn ook drie webgrafieken getekend.

Bekijk eerst eens de webgrafiek bij startwaarde 26 (dat is dus tussen 25,54 en 28.13.
Je ziet dat je na 1 iteratie je terecht komt tussen het middelste dekpunt en het rechterdekpunt. Je kunt ook zien dat de rij dan verder naar het rechterdekpunt convergeert.
Dat komt omdat er een waarde van n is waarvoor u_n in het linkerdeel van het vlindergebied van het rechterdekpunt ligt.
Bekijk nu de webgrafiek bij startwaarde (iets meer dan) 28,13 ( de middelste startwaarde. Na 1 iteratie zit je precies op het middelste dekpunt en blijft daar dus zitten.
Nu de derde webgrafiek, met startwaarde 30.
Na 1 iteratie kom je links van het middelste dekpunt uit. Je ziet ook dat de rij dan verder convergeert naar het linkerdekpunt.

Het punt is dat je volgens mij die contractiestelling fout interpreteert.
Die contractiestelling zegt alleen maar dat als er een omgeving van het dekpunt is waarin alle differentiequotienten tussen -1 en 1 liggen en de rij u_n voor een of andere waarde van n een waarde in dat interval bereikt, dat de rij convergeert naar dit dekpunt.
Jij doet net alsof u₁ al in dit interval moet liggen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 12 april 2005