WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Galoisuitbreiding

Hallo wisfaq,

Zij K bevat in K(a) een Galoisuitbreiding met groep G.Het minimumpolynoom van a over K, notatie f(a,Q) is dan gelijk is aan f=f(a,Q)=product[x-a_i], over alle s in G.
Ik heb enkele vragen over het bewijs van deze uitspraak:
Bewijs
Volgens stelling 1 (onderaan):deg(f)=[K(a):K].
Volgens stelling 2(onderaan):#G=[K(a):K], dus we hebben dat #G=deg(f).
f(a,Q) is het min polyn van a over K, dus a is een nulpunt.We schrijven nu
f(a,Q)=som[c_n*x^n], van n=0 t/m deg(f), en c_n in K
(Alle sommen gaan van n=0 t/m deg(f)),nu hebben we,
f(s(a))=som[c_n*(s(a))^n]
=som[s(c_n*a^n)]
vraag1.Waarom is som[s(c_n*a^n)] gelijk aan som[c_n*(s(a))^n]?
Omdat c_n in K is s(c_n)=c_n=s(som[c_n*a^n)])=s(f(a))=s(0)=0
vraag2.Waarom is c_n=s(som[c_n*a^n)])
Dus s(a) is een nulpunt van f voor iedere s in G.
vraag3.Waarom is dit zo?
s wordt uniek bepaald door s(a), dus het aantal nulpunten van f is gelijk aan #G, want voor elke s in G heb zo'n nulplaat.
deg(f)=#G en f=product[x-s(a)], over alle s in G.

Stelling1.Als a algebraisch is over K, dan is er een uniek monsich irreducibel polynoom f=f(a,Q) in K[x] dat a als nulpunt heeft.In dit geval is er een isomorfisme
K[x]/(f)-K[a]=K(a) en deg(f)=[K(a):K].

Stelling2.Zij K bevat in L een eindige Galoisuitbreiding met Galoisgroep G.Dan geldt:
De uitbreiding K bevat in L in normaal en seperabel.De Galoisgroep G is eindig van orde [L:K] en gelijk aan G=gal(L/K)=Aut_K(L).

Vriendelijke groeten,
viky

viky
Student hbo - vrijdag 8 april 2005

Antwoord

Hallo Viky,

Eigenlijk hebben je drie vragen betrekking op een en dezelfde uitwerking:

f(s(a))
= c_n(s(a))ⁿ wegens de definitie van f (hier staat dus eigenlijk een som voor n gaande van 0 tot degf)
= c_ns(aⁿ)
= s(c_n)s(aⁿ)
= s(c_naⁿ)
= s(f(a))
= s(0)
= 0

Wat werd hierin allemaal gebruikt? Wel, s is een automorfisme en voldoet dus aan de eigenschap s(ab)=s(a)s(b). Dat werd gebruikt in
(s(a))ⁿ = s(a)s(a)...s(a) = s(aa...a)=s(aⁿ)
en ook in
s(c_naⁿ)=s(c_n)s(aⁿ).
Bovendien is s een K-automorfisme, dus s houdt elementen van K op hun plaats, vandaar dat s(c_n)=c_n, en ook s(0)=0.

Dit zou jouw vraag1 moeten beantwoorden. Vraag3 is dan duidelijk, want ik heb getypt: f(s(a)) = ... = 0, dat betekent toch niks anders dan dat s(a) een nulpunt is van f?

En dan vraag2: je typt
"Omdat c_n in K is s(c_n)=c_n == s(som[c_n*a^n)])=s(f(a))=s(0)=0
vraag2.Waarom is c_n=s(som[c_n*a^n)])"

Dat gelijkheidsteken dat ik heb verdubbeld, staat dat echt zo in je cursus? Want dat lijkt me zeer sterk...

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 8 april 2005

Re: Galoisuitbreiding