WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Goniometrische vorm

de goniometrische vorm van z² - z
met z = cos∂ + i sin ∂

Gewoon invullen!
(cos∂+i·sin∂)²-cos∂+i·sin ∂
= cos²∂+2·i·sin∂·cos∂-sin²∂-cos∂·+i·sin∂
= 2·cos²∂-1-cos∂+i·(2sin∂cos∂-sin∂)

Maar hiervan zou dan nog de modulus en het argument moeten berekend worden. Kunnen jullie mij hiermee helpen?

Inge
Student hbo - maandag 3 juni 2002

Antwoord

Weet wel dat je schrijft:
z=cosq+i.sinq
normaliter is dat namelijk
z=r.(cosq+i.sinq) met r=|z|
maargoed, ik ga ervanuit dat je je niet vergist hebt en dat z=cosq+i.sinq

Hoe kun je de absolute waarde bepalen van z²+z ?

Ik zou als volgt te werk gaan:
Je weet dat je een complex getal z ook in poolcoordinaten kunt schrijven, namelijk:
z = |z|.e^i.arg(z)

verder geldt dat bij vermenigvuldiging van 2 complexe getallen z en w geldt:
z.w = |z|.|w|.e^{i.(argz + argw)}

welnu, z²+z kun je schrijven als z(z+1), en
z(z+1)=|z|.|z+1|.e^{i.(argz + arg(z+1))}

dus de absolute waarde van z²+z is |z|.|z+1|

|z|=(z.z^*)
= (cosq + isinq)(cosq - isinq)
= (cos²q + sin²q) = 1 = 1

|z+1| = ((z+1).(z+1)^*)
= (cosq+1 + isinq)(cosq+ 1 - isinq)
= ((cosq +1)² + sin²q)
= (cos²q + 2cosq+1 + sin²q)
= (2cosq + 2) = (2(cosq + 1))

dus |z|.|z+1|= (2(cosq + 1))
**************************

Nu het argument van z²+z.
Voor het argument hiervan kan geen uitdrukking worden opgesteld, maar van de tangens ervan, wèl.

z=cosq+i.sinq
z²+z = (cosq+i.sinq)² + cosq+i.sinq
= cos²q + 2i.sinq.cosq - sin²q + cosq + i.sinq
= cos²q-sin²q+cosq + i(2sinqcosq + sinq)
= cos2q + cosq + i(sin2q + sinq)

waarbij ik gebruik gemaakt heb van de verdubbelingsformules
sin2q=2sinqcosq, en
cos2q=cos²q - sin²q

noem g het argument van z²+z, dan geldt dus

tang = (sin2q + sinq)/(cos2q + cosq)

groeten,

Martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 juni 2002