WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Richtingsafgeleide en gradiënt

Toon aan dat de som van de kwadraten van de richtingsafgeleiden in een willekeurig punt constant is voor elke twee richtingen die orthogonaal zijn en gelijk aan het kwadraat van de lengte van de gradiënt in dat punt.

Kunnen jullie me op weg helpen bij deze oefening?
wat bedoelt men bevoorbeeld met de lengte van de gradiënt?
jul
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 12 februari 2005

Antwoord

dag Jul,

Je schrijft het er niet bij, maar de stelling die aangetoond moet worden, geldt alleen voor het tweedimensionale geval, dus voor een functie van twee variabelen.
Ik hoop dat je weet wat een gradiënt is.
Dit stelt een vector voor.
De lengte van een vector bereken je door de kentallen te kwadrateren, deze op te tellen en hieruit de wortel te nemen. (In feite de stelling van Pythagoras)
De richtingsafgeleide in de richting a is gelijk aan het inproduct van de gradiënt met a, gedeeld door de lengte van a.
Neem nu twee richtingen a en b die orthogonaal zijn, en voor het gemak zorg je ervoor dat de lengtes van deze twee vectoren beide gelijk zijn aan 1.
Noem g de gradiënt.
Het inproduct van g met a is gelijk aan de lengte van g maal de lengte van a (die is 1) maal de cosinus van de hoek tussen g en a
Voor het inproduct met b geldt iets dergelijks.
Kwadrateren en optellen levert:
(lengte van g)²·(cos²(a) + cos²(b))
waarbij a en b de respectievelijke hoeken zijn.
Maak nu gebruik van de orthogonaliteit van a en b.
Lukt dat verder?
groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 13 februari 2005