WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Korte exacte rijtjes

Dit is een reactie op vraag 31807

Hoi Christophe,

1.Een kort exact rijtje is van de vorm
1 - A - B - C - 1
Waarom mag je ook een 0 i.p.v. een 1 hebben?

2.injectiviteit
Je neemt aan dat er een element x ongelijk aan 0 is zdd b(x)=0.Als x in im(e) of als x niet in im(e) dan leidt dit tot een tegenspraak.Kun je hier nu direct uit concluderen dat de uitspraak niet juist is, dus er bestaat geen x ongelijk aan 0 zdd b(x)=0, dus x moet 0 zijn en de ker(b)={0}?Is dit allemaal correct geformuleerd?

Groeten en een gelukkig nieuwjaar toegewenst,
Viky

viky
Student hbo - vrijdag 31 december 2004

Antwoord

Hallo Viky,

1. De 1 of 0 duidt gewoon aan dat je te maken hebt met een verzameling met slechts één element. Meestal zal men daar de 0 kiezen omdat je ook in de andere verzamelingen A,B,C een nulelement hebt, en omdat je ook met het element nul werkt om de kern aan te duiden: de kern is immers juist de verzameling van elementen die op de nul worden afgebeeld.

2. Dat is inderdaad correct geformuleerd.
Het bewijs van injectiviteit kan evenwel anders gegeven worden, zonder die opsplitsing in 'x zit in im(e)', 'x zit niet in im(e)'. Bovendien is er een onvolledigheid geslopen in het bewijs van de surjectiviteit. Dat werd mij opgemerkt door een aandachtige lezer, waarvoor dank. Hier volgt zijn commentaar. Het stuk over de surjectiviteit moet je dus plakken na mijn surj-antwoord, voor de injectiviteit kan je het bewijs onder 'Overigens...' gebruiken (zie hieronder)

"
Hallo Christophe,

Dit is allemaal een beetje lang geleden voor mij, maar ik geloof dat je je vergist.

Bij het bewijzen van de surjectiviteit schrijf je:
"Vermits het diagramma commuteert, moet nu b(y)=x, zodat b surjectief is. "
Maar volgens mij kun je uit de communicativiteit slechts afleiden dat j(b(y))= j(x). Hoe leid je daaruit af dat b(y)=x?

Bij het bewijzen van de injectiviteit zeg je:
"Echter, wegens commutativiteit zou v=0 moeten zijn."
Maar dat is niet interessant. Je weet immers al dat b(x)=0.

---

Overigens:
De injectiviteit kun je ook rechtstreeks bewijzen.
Stel namelijk dat b(x) = 0.
Dan moet c(f(x))=j(b(x))=j(0)=0, dus f(x)=0, dus xÎKer(f)=Im(e), dus er is een zÎA1 met e(z)=x.
Maar dan moet i(a(z))=b(e(z))=b(x)=0, dus a(z)=0, dus z=0, dus x=e(z)=e(0)=0.

---

Bewijzen van surjectiviteit lijkt mij iets lastiger.

Het valt mij op dat je in jouw bewijs helemaal geen gebruikt maakt van de linkerhelft van het diagram. Dus daar ga ik even zoeken ...
Je had al gevonden, dat j(b(y))=j(x).
Maar dan moet j(b(y)-x)= j(b(y))-j(x)=0.
Dus b(y)-xÎKer(f)=Im(e).
Er is dus wÎA2 met i(w)=b(y)-x.
We weten dat a surjectief is, er is dus vÎA1 met a(v)=w.
Maar dan moet b(e(v))=i(a(v))=i(w)=b(y)-x.
En dus is x = b(y)-x - b(y) = b(e(v)) - b(y) = b(e(v)-y).
Dus e(v)-y is het gezochte element van B1.

---

Even terug naar jouw bewijs van de injectiviteit:
Je hebt al gevonden: "Dus f(x)=t, verschillend van 0 in C1."
Gebruik nu de commutativiteit van het diagram:
c(t)=c(f(x))=j(b(x))=j(0)=0.
Echter: c is injectief, dus moet t=0. Tegenspraak.

Met vriendelijke groet,
Peter Pesch
"

Jij ook een gelukkig 2005,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 2 januari 2005

Re: Re: Korte exacte rijtjes