WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Re: Symmetrische polynomen

Dit is een reactie op vraag 30703

Hallo Els,

Ik begrijp het nu voor alle gevallen die je hebt uitgelegd, toch lukt het mij niet om het voor de volgende drie gevallen een uitleg te geven,

1.som{T1T2}som{T1^2}=som{T1^2T2T3}+som{T1^3T2}

2.s1s3=som{T1}{som{T1T2T3}=som{T1^2T2T3}+4som{T1T2T3T4}

3.[som{T1^2}]^2=som{T1^4}+2som{T1^2T2^2}

Groeten,Viky
viky
Student hbo - zondag 12 december 2004

Antwoord

som{T1T2}som{T1²}
De eerste som bestaat uit termen t1t2+t1t3+t2t3+...
De tweede som bestaat uit termen t1²+t2²+t3²+...

Als je die twee sommen vermenigvuldigt, dan krijg je een som van producten met de eerste factor iets van de vorm T1T2 en de tweede factor iets van de vorm T1². Dus met een eerste factor bedoel ik dus een product van twee verschillende t's en met een tweede factor een kwadraat.

Wanneer je die twee sommen vermenigvuldigd dan kan je
t1t2 vermenigvuldigen met een term met een t1 of een t2 in en dan krijg je iets van de vorm T1³T2
of je vermenigvuldigt t1t2 met een term uit de tweede som waar noch t1, noch t2 in voorkomt vb. t3² en dan krijg je iets van de vorm T1²T2T3 (je schrijft gewoon de hoogste machten eerst)
= je krijgt twee sommen.
Op hoeveel verschillende manieren kan je nu t1³t2 krijgen?
Je tweede som bestaat uit enkel kwadraten = de tweede factor MOET t1² zijn en dan MOET de eerste factor t1t2 zijn. Er is gewoon geen andere mogelijkheid.
Op hoeveel manieren kan je nu t1²t2t3 krijgen als opnieuw de tweede factor een kwadraat moet zijn? dan MOET de tweede factor t1² zijn en dus noodzakelijkerwijs de eerste factor t2t3
= som{T1^2T2T3}+som{T1^3T2}

som{T1}{som{T1T2T3}
We onderscheiden opnieuw twee gevallen: Veronderstel dat we uit de eerste factor de term t1 beschouwen.
* ofwel bevat een term uit de tweede factor GEEN t1
* ofwel bevat ze wel een t1

In het eerste geval krijg je termen t1t2t3t4
in het tweede geval krijg je termen t1²t2t3

Nu die term t1t2t3t4 kan je ook krijgen als de term uit de eerste factor t2 was en de corresponderende term (om het product t1t2t3t4 te vormen) t1t3t4 is.
Of nog t3 * (t1t2t4) of nog t4*(t1t2t3)
Dus je hebt vier mogelijkheden: elk van de vier factoren uit t1t2t3t4 kan een term zijn uit de eerst som. = 4 mogelijkheden.

De term t1²t2t3 kan enkel en alleen ontstaan uit t1*(t1t2t3) omdat in geen van beide sommen een kwadraat staat.
= slechts één mogelijkheid.

Bijgevolg is : s1s3=som{T1}{som{T1T2T3}=som{T1²T2T3}+4som{T1T2T3T4}

Nu zou je het wel zelf moeten kunnen. Lukt de derde nog niet? schrijf dan eens je redenering neer, stap voor stap.

Mvg,

Els

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 13 december 2004

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

Re: Re: Re: Re: Symmetrische polynomen

Antwoord

som{T1T2}som{T12}

som{T1}{som{T1T2T3}

som{T1T2}som{T1²}