De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Sinus

als ik het volgende heb: sin (x)=0.3333
hoe kan ik de betreffende hoek (x)weten?

corher
Ouder - maandag 1 november 2004

Antwoord

Net zoals je voor worteltrekken kwadrateren hebt, en voor ln(x) de exponentiële functie enz, bestaat er ook hier een functie die de inverse bewerking van de sinus is (dus gegeven een hoek waarvan de sinus losgelaten op een of ander nader te bepalen getal de gegeven hoek oplevert).
Die functie, die het nader te bepalen getal oplevert, heeft de naam 'arcus sinus' ookwel arcsin(x) of b(oo)gsin(x) genoemd.

Je weet hoogstwaarschijnlijk dat de sinusfunctie periodiek is, en dat de periode 2p is. Dus na 2p zijn alle functiewaarden 2 keer aan de beurt gekomen (de functiewaarden liggen zijn -1 f(x) 1). Een inverteerbare functie moet bijectief zijn, dus zowel injectief als surjectief. Dat wil zeggen het hele co-domein [-1,1] moet worden bereikt en verschillende originelen (verschillende x'en) hebben verschillende beelden (verschillen y's).
Om de sinusfunctie te inverteren hebben we een interval nodig waarop de sinusfunctie bijectief is. Het is gebruikelijk om het interval [-1/2p, 1/2p] te nemen en deze te spiegelen in de lijn y=x wat de inverse sinus (= arcsin(x)) oplevert.
arcsin(0,3333) kun je dan bepalen m.b.v. de grafiek van de arcsin(x). Dus sin(arcsin(0,3333)) = 0,3333. Maar aangezien de sinusfunctie periodiek is geldt ook dat 2p verder (of terug) de functie 0,3333 is, en weer 2p verder/terug etc. Dus sin(x) = 0,3333 als x = arcsin(0,3333) + 2kp met k Î (maar dat is niet de enige oplossing zie onderstaande tekst).

Een tekening van de goniometrische cirkel (= eenheidscirkel) leert je dat ook sin( (p - arcsin(0,3333)) + 2mp ) = 0,3333. (Y-as fungeert als symmetrie-as bij de gon. cirkel).

Dus alle oplossingen zijn x = arcsin(0,3333) + 2kp of x = p - arcsin(0,3333) + 2mp.

Rest alleen nog de vraag hoe je arcsin(0,3333) vindt. Dat kun je met je rekenmachine doen, m.b.v. sin-1 (let er wel op dat je rekenmachine op radialen staat).
Een schatting kan via tekening. Ook is het mogelijk dat de te berekenen hoek een standaardhoek is, bijvoorbeeld sin(x) = 1 Û x = 1/2p + 2kp. Dan heb je te maken met exacte waarden (die je soms ook m.b.v. verdubbelingsformule of somformule van Simpson/... kunt bepalen).

De arcsin(x) is gedefinieerd als volgt f := [-1,1] ® [-1/2p,1/2p] : x |® arcsin(x).

Eenzelfde verhaal kan worden verteld voor de inverse van de cosinus en tangens.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 1 november 2004



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3