WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Functies van meerdere variabelen

Dit is een reactie op vraag 29099

Bedankt voor de snelle reactie. Helaas heb ik mijn vraag waarschijnlijk niet duidellijk genoeg geformuleerd want ik kan niet verder met dit antwoord. Hier nog een poging.
Getekend staat een assenstelsen x en y as met daarin twee cirkels met de oorsprong als middelpunt de buitenste cirkel gaat door het punt (2,1) en z=5
f(x,y)=x²+y²
 grad(f) = (df/dx)   (2x)   (4)  
           (df/dy) = (2y) = (2)  
Haakjes staan om het hele grad heen.

Volgende stuk anderde vraag is een cirkel x²+y²=25 door het punt (3,4)
df/dx=2x en df/dy =2y
vul punt in en de vergelijking van de raaklijn is 6x+8y=K
K=50 dus 6x+8y=50 nu komt het df/dx.x+df/dy.y=k dus

y=-((df/dx)/(df/dy)).x +k/(df/dy) (al deze d's zijn de schuine d's)
dus -((df/dx)/(df/dy))is de richtings coefficient. = dy/dx.

dit is behalve dan de min het zelfde als de grad(f). wat is nu precies het verschil en wanneer gebruik ik de grad en wanneer de rc.
Alvast bedankt en ik hoop zeer op een weeer zo'n snelle reactie, heerlijk, kan ik weer verder. Harmke

harmke
Student hbo - dinsdag 26 oktober 2004

Antwoord

Iets minder snel helaas, maar toch een reactie waarvan ik hoop dat je er wat mee kunt.
Ik begrijp nu, dat je in feite een aantal niveaulijnen van een functie van twee variabelen hebt, en dat je met behulp van de gradiënt de richtingscoëfficiënten van raaklijnen aan die niveaulijnen wilt berekenen.
Zoals ik al aangaf: de gradiënt is een vector. Deze vector staat in een punt van de cirkel loodrecht op de cirkel, dus loodrecht op de raaklijn.
Stel nu ^df/_dx = a en ^df/_dy = b, dus de gradiënt is de vector (a, b) (maar dan verticaal).
De raaklijn staat hier loodrecht op.

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is gelijk aan y-component gedeeld door x-component, dus gelijk aan ^a/_-b.
De raaklijn heeft dus vergelijking:
y = ^a/_-b·x + c
Deze vergelijking kun je ook anders schrijven:
a·x + b·y = b·c
en in deze vorm vind je dan de oorspronkelijke gradiënt weer terug, zonder min-teken.
Ik hoop dat het zo duidelijk is
groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 27 oktober 2004