WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Derdemachtswortel vereenvoudigen

Beste medebeantwoorder,
Zit alweer uren te puzzelen en kom er maar niet uit. Wordt gek van de getallen
Het probleem is als volgt:
Ik heb:
(871/1458 + 5/54·√(33))^1/3 + 34/(81·(871/1458 + 5/54·√(33))^1/3) - 4/9

Nu is dit ook volgens Maple gelijk aan 1. (wat een manier om 1 te noteren, maar goed).

Ik heb inmiddels het probleem kunnen reduceren tot het aantonen dat:
³√(3484+540·√(33)) + ³√(3484-540·√(33)) gelijk moet zijn aan 26.

Weet iemand hoe dit handmatig kan?

Alvast bedankt.

M.v.g.
Peter
peter
Docent - donderdag 21 oktober 2004

Antwoord

Beste Peter,

De kern van het reduceren hier ligt in het bepalen van (871/1458 + 5/54·√(33))^1/3, of met een beetje omrekenen (3484 + 540√(33))^1/3/18.

Nu kunnen we kijken of er x en y in $\mathbf{Q}$ zijn zodat (x+y√(33))³ = 3484 + 540√(33). Dat zou de zaak sterk versimpelen.

We hebben (x+y√(33))³ = x³ + 3√(33)x²y + 99xy² + 33√(33)y³.

Hieruit halen we x³+99xy² = 3484 en 3x²y + 33y³ = 540. Door 540 maal de eerste vergelijking min 3484 maal de tweede vergelijking, daarna wat gemeenschappelijke delers wegdelen, en delen door y³, krijgen we

45t³ - 871t² + 4455t - 9851 = 0

waarin t = ^x/_y.

Met de Rational Root Theorem kunnen we nu vinden dat de noemer van een rationale oplossing voor t een deler moet zijn van 45, en de teller een deler van 9851 = 11·13·67. Het blijkt dan dat t=13 voldoet.

Substitueren van x=13y in x³+99xy² = 3484 geeft y=1. En dus x=13.

Kortom, we hebben gevonden dat (871/1458 + 5/54·√(33))^1/3 = (13 + √(33))/18.

Verder reduceren moet geen probleem zijn.

^^^·

Voor het door jou gereduceerde ³√(3484+540·√(33)) + ³√(3484-540·√(33)) heeft hk een soortgelijke methode gevonden.

Door z³=((a+b)^1/3+(a-b)^1/3)³ uit te rekenen, vind je dat dit getal een oplossing moet zijn van z³-408z-6968=0.
Doordat 6968=8·13·67 kun je weer vrij snel tot de enige rationale oplossing van deze vergelijking komen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 21 oktober 2004