WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Priemontbinding in Z[i]

Hallo wisfaq,

Ik wil graag het element x=522-246i ontbinden in z[i](gehele getallen van Gauss).Er zijn verschillende manieren en ik wil het graag op de volgende manier doen, waarvan ik niet alle stappen begrijp.Misschien kunt u mij met bepaalde stappen helpen.
Allereerst ggd(522,246)=6.Schrijf 522-246i=6(87-41i).Zij x-87-41i. N(x)=522²+246²=9250=2·5³·37. Dus x is het product van priemelementen van norm 2, 5 en 37. Ik moet nagaan of een van de volgende getallen delers zijn van x:
1(+/-)i, 6(+/-)i, 2(+/-)i.
Ik begin met 6(+/-)i. Ik vat de deelbaarheid van x door 6(+/-)i op als het al dan niet bevat zijn in de hoofdidealen (6(+/-)i).Idealen zijn kernen van homomorfismen en in dit geval hebben we twee hom'n van
Z[i]-Z/37Z. Corresponderend met de beide wortels (+/-)7mod37 van -1mod37 hebben we de hom'n,
f₁:a+bi-a+6b met ker(f₁)=(6-i)
f₂:a+bi-a-6b met ker(f₂)=(6+i)
vraag1.Wat wordt er bedoeld met "corresponderend...t/m...de hom'n"?Waarom is het hom van Z[i]naar Z/37Z en waarom hebben ze die vorm?
Er geldt
f₁(x)=87-6·41mod37=26mod37 en
f₂(x)=87+6·41mod37=0mod37,
dus 6-i is geen deler van x en 6+i wel.Dit stukje begrijp ik.
Omdat x niet deelbaar is door 5, treedt van de priemelementen 2(+/-)i er slechts één op als deler van x, met multipliciteit 3.
vraag2.Waarom is dit zo?(De multpl. begrijp ik)
Verder hebben we dus de volgende hom'n;
g1(a+bi)=a+2bmod5 met ker(g1)=(2-i)
g2(a+bi)=a-2bmod5 met ker(g1)=(2+i)
Net als de berekening boven, 2-i is een deler van x.
En zo vind je ook dat 1+i een deler is van x.
Omdat er op eenheden na slechts één priemelement van norm 2 is krijgen we(vraag3. dit begrijp ik niet)
x=87-41i=(i^k)·(1+i)·[(2-i)³]·(6+i)

Ik wil nu de k bepalen via f₁:Z[i]-Z/37Z maar ik begrijp niet hoe dat moet.
Pas het hom g2(a+bi)=a-2bmod5 toe behorende bij het priemelement 2+i dat x niet deelt, dan vind je dat g2(x)=-1mod5, en dit moet gelijk zijn aan
(-2)^k·(-1)·(-1)³·(-1)mod5,
vraag4. Waarom moet het daaraan gelijk zijn?

Er volgt (-2)^k=1mod5 (congruentievergelijking), dus k=0mod5 en i^k is 1.
vraag5.Bovenstaande begrijp ik niet.

Vriendelijke groeten en dank,
Viky
viky
Student hbo - donderdag 14 oktober 2004

Antwoord

Allereerst: dit lijkt mij niet de efficiëntste methode om een complex getal te ontbinden... Het ontbinden van de norm is wel een goed idee, want dan weet je welke priemfactoren er kunnen voorkomen, en met welke multipliciteit. Maar wanneer je er die homomorfismen bij gaat brengen, dat vind ik toch nogal vergezocht.

Vraag 1: 6+i voldoet aan a-6b=0, want 6-6=0. Nu zal ook elk complex veelvoud voldoen aan a-6b=0 (mod 37), want: (6+i)i=-1+6i, en dan is a-6b=-1-36=-37.
Dus als je een willekeurig complex veelvoud van 6+i, a+bi noemt, dan zal a-6b=0 (mod37).

Maw: om te controleren of x een veelvoud is van 6+i, mag je gewoon kijken of a-6b=0 (mod37), wat dus overeenkomt met het controleren of x in de kern zit van het homomorfisme f2.

Vraag 2: x is duidelijk niet deelbaar door 5, want a+bi is deelbaar door 5 als en slechts als zowel a als b deelbaar zijn door 5. En dat is hier dus niet het geval. Vermits 5=(2+i)(2-i), weet je dus dat deze twee factoren niet allebei een deler zijn van x. Je weet uit de ontbinding van de norm echter ook dat er drie factoren zijn met norm 5. Vandaar dat je kan zeggen: ofwel is 2+i een deler met multipliciteit 3, ofwel is 2-i een deler met mul 3. De test met het homomorfisme wijst uit dat 2-i een deler is.

Vraag 3: als je kijkt naar de ontbinding van de norm, zie je dat je de factoren met norm 5 (3 keer 2-i) en met norm 37 (één keer 6+i) gevonden hebt. Dus rest enkel nog de factor met norm 2, maar dat kan alleen 1+i zijn (akkoord, ook 1-i of -1+i of -1-i, maar dat is allemaal hetzelfde als 1+i, op een eenheid na). En die eenheid moet je dan nog vastleggen: dat is 1,-1,i of -i, met andere woorden: i^k met k=0,1,2 of 3.

Om die eenheid vast te leggen gebruik je nu één van de homomorfismen die je had opgesteld, maar die geen deler opleverden, zoals bijvoorbeeld f1 of g2.

Doe dat bij g2:
g2(x)=g2(87-41i)=87-2(-41) mod5=169mod5= -1mod5

Anderzijds: x=i^k(1+i)(2-i)³(6+i)
Dus g2(x)=(g2(i))^k g2(1+i) (g2(2-i))³ g2(6+i)
(eigenschap van homomorfismen: g2(ab)=g2(a)g2(b) )
Je kan al die factoren nu eenvoudig uitrekenen:
g2(i)=g2(0+i)=0-2=-2 (mod5)
g2(1+i)=1-2=-1 (mod5)
g2(2-i)=2+2=-1 (mod5)
g2(6+i)=6-2=-1 (mod5)

Alles samen: g2(x)=(-2)^k(-1)(-1)³(-1)
= (-2)^k(-1)
en dit moet -1 zijn (mod5) (wegens dat resultaat in het vet)

Dus (-2)^k = 1 mod5
Dus k=0 of 4 of 8 of...

En dat geeft je dus de volledige ontbinding. NB: vergeet de factor 6=2*3=(1+i)(1-i)3 niet die je in het begin al had weggedeeld.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 17 oktober 2004

Re: Priemontbinding in Z[i]