WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Raaklijn aan kromme (=doorsnede van 2 oppervlakken)

hei!
gegeven: K in R³ -doorsnede van de twee oppervlakken:
O1={(x,y,z)ÎR³:2x²+3y³=1}
O2={(x,y,z)ÎR³:z=x²

zoek:- vergelijking van de raaklijn aan de kromme in een willekeurig punt(x0,y0,z0)ÎK
-punten van K: raaklijn= horizontaal ; loodrecht op z-as

wa ik heb: K=2z+3y³=1
vergelijking raaklijn
inwendig product van (gradient van f in (x0,y0,zo)) met (x-x0,y-yo,z-zo))
daarvoor kom ik
9yy0²-9yo³+2zz0-2z0²=0; kan dit?

of moet je voor beide oppervlakken de raakvlakken apart berekenen?
dan kom ik voor O1 uit: 4x0x-4x0²+9yo²y-9yo³=0
en voor O2: 2xx0-2x0²+z-z0

hoe moet ik verder?
groetjes nele

Nele G
Student universiteit België - maandag 14 juni 2004

Antwoord

In de driedimensionale ruimte wordt een oppervlak gegeven door één vergelijking f(x,y,z)=0 of door een parametervoorstelling (x,y,z)=p(l,m) met twee vrij variërende parameters l en m; een kromme wordt gegeven door twee vergelijkingen f(x,y,z)=g(x,y,z)=0 of door een parametervoorstelling (x,y,z)=p(l) met één vrij variërende parameter l (of m). Deze basisfeiten moet je steeds in het oog houden. Maar men noemt zo'n parametervoorstelling ook vaak een vergelijking, dat is wel eens verwarrend.

Om de raaklijn in een punt van de snijkromme te bepalen kun je eerst een parametervoorstelling maken van deze snijkromme van O1 en O2, en dan de afgeleide nemen om de richting van de raaklijn te bepalen (manier 1), of eerst de vergelijkingen van de twee raakvlakken bepalen en dan de snijlijn van die twee raakvlakken nemen (manier 2).

Volgens manier 1: stel bijvoorbeeld x=l, dan komt er y=³Ö((1-2l²)/3) en z=l², dus (x,y,z)=(l,³Ö((1-2l²)/3),l²);
dus (x',y',z')=(1,(1/3)((1-2l²)/3)^-2/3(-4l/3),2l);
men moet hier nu de waarde l₀ van l invullen zo dat (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀) om de juiste raakvector (x',y',z')₀ te krijgen; dus l₀=x₀; parametervoorstelling van de raaklijn is dan (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+m(x',y',z')₀=(x₀,y₀,z₀)+m(1,(1/3)((1-2x₀²)/3)^-2/3(-4x₀/3),2x₀).

Volgens manier 2: hier maakt u gebruik van het feit dat de gradiënt normaal is op het raakvlak, en dat men de vergelijking van het raakvlak krijgt door het inproduct van (x-x₀,y-y₀,z-z₀) met deze normaalvector 0 te stellen.
Dus: normaal op O1 is (4x₀,9y₀²,0),
normaal op O2 is (2x₀,0,-1); stel nu de vergelijkingen van beide raakvlakken op en maak een parametervoorstelling van de snijlijn (een richtingsvector van de snijlijn kan men eenvoudig vinden door het uitproduct van de al berekende normaalvectoren op de raakvlakken te nemen); u moet uiteindelijk hetzelfde antwoord krijgen als bij manier 1: steunvector (x₀,y₀, z₀) en een richtingsvector die bij manier 2, misschien op een multiplicatieve factor na, ook hetzelfde is als bij manier 1.
(Bij de contrôle hiervan heb je weer nodig dat y₀=³Ö((1-2x₀²)/3).)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 15 juni 2004