WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vierhoek en omschreven cirkel

een vierhoek ABCD is omschreven aan een cirkel en we weten dat /AB/ = 4, /BC/ =5 en /CD/ =3

hoe kan je dit correct teken met cabri en hoe moet je de oplossing zoeken zonder de berekeningen in cabri te gebruiken (daarmee bedoel ik het knopje waarmee je de afstand kunt berekenen)

kan je me op weg helpen?

bedankt
lynn
Student Hoger Onderwijs België - maandag 17 mei 2004

Antwoord

Beste Lynn,

Eerst kun je |AD| berekenen. In een vierhoek omgeschreven aan een cirkel zijn namelijk sommen van de lengtes van de twee paren overstaande zijden gelijk. Dit valt eenvoudig te bewijzen doordat de raaklijnstukken vanuit elk hoekpunt even lang zijn.

Dus |AD|=2.

Maar nu hebben we een vierhoek met vier bekende lengtes, daarmee ligt de vierhoek, zoals je weet, niet vast. Maar wel elke convexe vierhoek met deze vier zijden omschrijft een cirkel. De twee plaatjes hieronder, van twee voorbeelden van jouw vierhoek, suggereren hoe de incirkel geconstrueerd kan worden. Dat kan natuurlijk ook met het snijpunt van de bisectrices. Deze constructie geeft echter wat extra's:
We maken P en Q zó dat DQC en DAP gelijkbenige driehoeken zijn met C resp. A als tophoek. Omdat DA+BC = DC+AB is ook BPQ een gelijkbenige driehoek met B als tophoek. De bisectrices van hoeken A, B en C zijn dus de middelloodlijnen van driehoek DQP. Dat wil zeggen dat de drie bisectrices van A, B en C altijd door één punt gaan, en dat het snijpunt het middelpunt is van de cirkel rakend aan de zijden van ABCD.

Dat wetende kunnen we dus het volgende doen: Start met AB, dan BC. We kunnen nu de bijbehorende D vinden met twee juiste cirkels (zodat CD en AD de juiste lengtes hebben). Zorg voor een convexe vierhoek, en voilà, we zijn klaar.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 17 mei 2004