WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Rechthoekige driehoeken

in de rechtjoekige driehoek ABC meet de hoek B20° en de schuine zijde |BC| = 6cm. D is de loodrechte projectie van A oop BC, E is de loodrechte projectie van D op AB en F is de loodrechte projectie van E op BC.bereken de lengte |FE|
jeroen
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 15 mei 2004

Antwoord

Hoi,

Eerst een tekening van de situatie.

Gegeven dat |BC|=6 en dat ÐCBA = 20°, dan moet ÐBCA wel 180°-90°-20° = 70° zijn. Verder zie je gelijkvormige driehoeken CDA en DFE (gelijkvormigheidskenmerk hh, bereken in DCAB hoek BCA en in DDEB hoek BDE, ze zijn beide 70° en ze hebben ook beide een rechte hoek).
Eerst gaan we |AC| en |AB| m.b.v. de sinusregel berekenen.
|BC|:sin(ÐBAC) = |AC|:sin(ÐCBA) Þ 6:sin(90°) = |AC|:sin(20°) Þ 6 = |AC|:sin(20°) Þ |AC|=6·sin(20°), dus |AC| 2,05. Omdat DCAB rechthoekig is kunnen m.b.v. de Stelling van Pythagoras zijde |AB| berekenen, want |CB|² = |AC|²+|AB|² Þ |AB|² = |CB|² - |AC|² Þ |AB|=Ö(36 - (6·sin(20°))²) Þ |AB| 5,638.

In DCDA kunnen we |CD| en |DA| bepalen m.b.v. standaard goniometrie (rechthoekige driehoek).
sin(ÐBCA) = |DA|:|AC| Û sin(70°) = |DA|:(6·sin(20°)) dus |DA|=sin(70°)·6·sin(20°) Þ |DA|1,92836.
Om |CD| te bepalen kun je de stelling van Pythagoras gebruiken, maar ook cos(70°)=|CD|:|AC| dus |CD|=cos(70°)·|AC| Þ |CD|=cos(70°)·6·sin(20°) Þ |CD|0,701867. Aangezien |CB|=6 en |CB|=|CD|+|DB| geldt er dat |DB|=|CB|-|CD| dus |DB|=6-0,701867 Þ |DB|5,29813.

In DDBA geldt dat |DE|·|AB| = |DB|·|DA| (oppervlakte).
Dus |DE|·5,638 = 5,29813·1,92836 Þ |DE|1,812068.

Nu kunnen we m.b.v gelijkvormigheid van driehoeken CDA en DFE de zijde |EF| berekenen, want |AC|:|DE| = |AD|:|EF|. Dus |EF|=^|DE|·|AD|/_|AC| Þ |EF| 1,702787229.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 15 mei 2004