WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Constructie ivm aangeschreven cirkels

Hallo

Volgend vraagje:
Gegeven: 3 punten
Gevraagd: kan je de driehoek construeren waarvan deze 3 gegeven punten de middelpunten zijn van de 3 aangeschreven cirkels?

Oplossing: verbind de 3 punten met elkaar, bepaal de 3 hoogtelijnen van deze bekomen driehoek. De 3 bekomen snijpunten van de hoogtelijnen op de zijden van de driehoek vormen de gevraagde driehoek...

Oké ik WEET nu hoe je dit moet doen. Maar wat is de verklaring hiervoor? Waarom is ze dus correct??

Alvast bedankt!
Miguel
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 1 mei 2004

Antwoord

Voor elk middelpunt geldt dat de afstanden tot de drie zijden (waarvan twee verlengde zijden) gelijk zijn aan elkaar, en (dus) dat het middelpunt snijpunt is van twee buitendeellijnen en een binnendeellijn van de driehoek.
Er volgt ook dat telkens een hoekpunt en twee middelpunten collineair zijn.
Maak een schets, beginnend met de driehoek en zijn binnen- en buitendeellijnen!
Nummer nu de hoekpunten van de driehoek A₁, A₂ en A₃, en de middelpunten van de aangeschreven cirkels M₁, M₂ en M₃ zó dat M₁ M₂ de buitendeellijn is door A₃, en M₁ M₃ de buitendeellijn door A₂, en M₂ M₃ de buitendeellijn door A₁.
Dan ligt M₁ tevens op de binnendeellijn door A₁, en M₂ tevens op de binnendeellijn door A₂, en M₃ tevens op de binnendeellijn door A₃.
Verder kan men eenvoudig inzien dat de buitendeellijn en de binnendeellijn gaande door een hoekpunt altijd loodrecht op elkaar staan. Dit volgt uit de definitie van deellijn.
Dus in driehoek M₁M₂M₃ is A₁ voetpunt van de hoogtelijn uit M₁, en A₂ voetpunt van de hoogtelijn uit M₂, en A₃ voetpunt van de hoogtelijn uit M₃.
De constructie zorgt er voor dat juist deze hierboven beschreven situatie bereikt wordt, maar nu beginnend met M₁, M₂ en M₃.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 3 mei 2004

Re: Constructie ivm aangeschreven cirkels