De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Oef toelatingsex burg

Opgave
--------
µ= 1/2 + i(Ö3)/2

Toon aan dat voor elke n Î die geen zesvoud is,
µn + µ2n+ µ3n+ µ4n+ µ5n= -1

Vraag
--------

ik heb die µ omgezet naar zijn goniometrische vorm en dan een paar vb'tjes uitgerekend. Maar nu is de vraag hoe bewijs je dit?

mijn vb'tjes -- http://users.pandora.be/dadarock/7.gif

dank bij voorbaat

bert
3de graad ASO - donderdag 22 april 2004

Antwoord

Ik had het zo gedaan:
m= 1/2+i.1/2Ö3
= cos(p/3)+i.sin(p/3)
= exp(i.p/3)
(en met exp(x) bedoel ik ex)

Dus:
mn=exp(n.i.p/3)
m2n=exp(n.i.2p/3)=(exp(n.i.p/3))2
m3n=exp(n.i.3p/3)=(exp(n.i.p/3))3
m4n=exp(n.i.4p/3)=(exp(n.i.p/3))4
m5n=exp(n.i.5p/3)=(exp(n.i.p/3))5

Nu willen wij deze vijf bij elkaar optellen. Daartoe passen we een trucje toe, namelijk:

a+a2+a3+a4+a5
= (a+a2+a3+a4+a5).(1-a)/(1-a)
(dus je vermenigvuldigt feitelijk met het getal 1)
= (a-a6)/(1-a)

Nu hoeven we voor 'a' alleen maar exp(n.i.p/3) te substitueren:

som = (exp(n.i.p/3) - exp(n.i.6p/3))/(1-exp(n.i.p/3))
= (exp(n.i.p/3) - exp(n.i.2p))/(1-exp(n.i.p/3))

Nu is exp(n.i.2p) = cos(n.2p)+i.sin(n.2p) = 1 voor alle gehele n.

Dus som = (exp(n.i.p/3) - 1)/(1-exp(n.i.p/3))

en zoals je ziet is hier teller=-noemer dus de breuk is -1.

ECHTERRRRR... de noemer mag nooit NUL worden!! En wanneer zou de noemer nul kunnen worden? Wanneer exp(n.i.p/3) gelijk aan 1 wordt. En dàt gebeurt wanneer n=0 of n=6 of n=12 of n=18 of...

groeten,
martijn

mg
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 23 april 2004



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3