WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Getalspel

Halo ik heet eugene en heb het volgende probleem.

Wat is het kleinste positieve getal dat, wanneer het cijfer 1 er aan beide kanten naast wordt gezet, 99 keer zo groot is dan het originele getal.

ik heb zelf als eerste getal 1123595505617977528 gevonden maar het getal moet in principe op een negen eindigen, dus het kan niet, en klopt trouwens ook niet.

Ik heb de volgende formule opgesteld:
(100a+10b+c)*10 + 10001 = 99*(100a+10b+c)
8900a + 890b + 89c = 10001
Dit is dan voor een driecijferig getal, maar hetzelfde patroon zet zich door voor grotere getallen, steeds een tienvoud groter. Dus voor vijf getallen zou het dan zijn:
890000a + 89000b + 8900c + 890d + 89e = 1000001

Ik weet dat het laatste getal steeds een 9 moet zijn, maar dit gebruik in kiet nu, maar pas later als controle. Ik werk het vijfcijferig getal uit, maar het is soortgelijk voor alle getallengrootte.

890d + 89e is max 8811
Dus ik probeer a,b en c steeds zo laag mogelijk te kiezen om binnen het berreik van 8811 te vallen. GGD(890,89)=89, dus als 89 een deler is van de rest dan hebben we een oplossing. Anders pakken we een getal groter.

Deze werkwijze leverde me dus het getal 1123595505617977528. Maar dit eindigt niet op een 9 dus is het niet goed.

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen, bij voorbaat dank.
Eugene
Student hbo - woensdag 17 maart 2004

Antwoord

Op grond van bovenstaande kun je dus concluderen dat
1000.....1 een 89-voud moet zijn, immers 89*(het getal)=1000......1
Een methode zou dus kunnen zijn:
Voer de deling 1000......1 met een staartdeling net zo lang uit tot het klopt.
Je weet dan dat de laatste stap in de staartdeling moet zijn
801
801
---
0
Immers het laatste getal moet een 9 zijn en 9*89=801.

Een begin heb ik al voor je gemaakt:
89/1000000.....1\1123.......9
    89 
    -- 
    110 
     89 
     -- 
     210 
     178 
     --- 
     320 
     267 
     --- 
      530 
         . 
          . 
           801 
           801 
           --- 
             0 
Het gezochte getal is dan 112359550561797752809

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 17 maart 2004