WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Equivalentierelatie

Beste mensen,
ik zit vlak voor een tentamen ( maandag ) en kwam deze vraag tegen , en daar word ik niet vrolijk van want ik kan het niet oplossen.Ik hoop dat iemand mij nog kan helpen?

Gegeven : Groep G met ondergroep H
De relatie van G naar H wordt gedefinieerd door xRyÛer is een hÎH met y=x·h
Toon aan dat R een equivalentierelatie is.

Als ik naar de defenitie van een equivalentierelatie kijk dan moet het om een relatie gaan die reflexief,symmetrisch en transitief is.Dus als ik dit kan aantonen dan ben ik er.

reflexief: (x,x)ÎR, gegeven y=x·h dus x = y/h=x·h/h=x
symmetrisch: (x,y)ÎRÞ(y,x)ÎR
??????????????????????????????????
trans.: (x,y)ÎRÙ(y,z)ÎRÞ(x,z)ÎR

Ik blijf erop turen , maar zie geen oplossing??
Charlotte

charlo
Student hbo - zaterdag 13 maart 2004

Antwoord

H is een ondergroep, en bevat daarom het eenheidselement e en bij elk element h in H is er ook de inverse h^-1 in H te vinden.

x~y betekent volgens afspraak: binnen H is een element h te vinden zodanig dat y = x.h

Nu de drie equivalentie-eigenschappen.

1) x~x, want als je voor h het element e uit H neemt, dan staat er dat x = x.e en dat is altijd waar.

2) Als x~y, dan ís er dus een h zodanig dat y = x.h
Hieruit volgt dan dat y.h^-1 = x (aan beide zijden is er vermenigvuldigd met de inverse van h).
Schrijf dit nu eens achterstevoren: x = y.h^-1.
Maar hier staat dus precies dat y~x!
In je eigen uitleg maak je hier wel een lelijke fout. Je gaat namelijk over een soort deling praten (je schrijft namelijk x = x.h/h). Maar 'delen' in een groep is een min of meer onbestaande handeling. Bedenk dat je het hier niet over getallen hoeft te hebben! Het kan net zo goed een groep van matrices zijn of van symmetrieën.

3) x~y dús is er een h met y = x.h
ook y~z, dús is er een k met z = y.k
Dus z = (x.h).k = x.(h.k)
Omdat h én k in H zitten, zit h.k óók in H (eigenschap van een groep).
Afijn: de conclusie is x~z, want z = x.(h.k) en het gezochte element is dus h.k

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 14 maart 2004