WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Raccorderingsboog

Gegeven: C(K, r), A Î a

Gevraagd:
- Verklaar de constructie van de 'raccorderingsboog'. De gezochte boog is deze die raakt aan de a in het punt A, en ook de cirkel raakt?

- Kan je ook de tweede oplossing vinden?

(Ik heb een constructie gemaakt met Cabri.)

Alvast bedankt!
Sandy
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 12 maart 2004

Antwoord

Beste Sandy,

Allereerst dit.
Als je bij een constructieprobleem de beschikking hebt over een dynamisch meetkundeprogramma (zoals Cabri), dan heb je
het over het algemeen iets makkelijker, dan zonder.

Dan.
De door jou bedoelde raccorderingsboog is blijkbaar een boog van een cirkel die in een gegeven punt A aan een
gegeven lijn a raakt en ook nog aan een gegeven cirkel (K).
(K) betekent: de cirkel met middelpunt K.

Onmiddellijk is duidelijk dat X, het middelpunt van de gezochte cirkel, op de loodlijn b in A op a moet liggen, en dat het raakpunt R van (X) en (K) op de lijn KX ligt.

Bekijk nu de CabriJavapplet en verplaats het punt X over de lijn b.

Verder.
Het is altijd verstandig bij een constructieprobleem een analysefiguur te maken: dat is een figuur waarin de gewenste
eindsituatie wordt weergegeven.
Teken daarin dan OOK andere vaste punten en lijnen van de figuur.
In de applet is dat ook gedaan.
Verplaats daartoe het punt hulp naar rechts: er worden drie lijnen getekend.
Verplaats nu het punt X opnieuw over de lijn b.
Wat merk je op?

We zijn nu zover, denk ik, om de constructiebeschrijving en het bewijs te geven. Zie onderstaande analysefiguur.

- Teken de loodlijn b door A op a en teken ook de loodlijn door K op a. Deze laatste snijdt cirkel (K) in de punten C en
D (en de lijn a in E).
- Teken CA. Deze lijn snijdt cirkel (K) in R. Nu is CRD = 90, immers (K) is een Thales-cirkel van driehoek CDR.
- Teken ook KR, die de lijn b snijdt in het punt X, het middelpunt van de gezochte cirkel.
- Teken de cirkel met middelpunt X, die door R gaat.

Maar waarom is X middelpunt van de gezochte cirkel? Waarom gaat die cirkel ook door A?
Dat zullen we echt moeten bewijzen!
Wel, kijk eens naar de driehoeken CKR en AXR.
Dit zijn gelijkvormige driehoeken (waarom is dat zo?).
En driehoek CKR is gelijkbenig, immers CK = KR. Zodat ook, en dat volgt dan uit die gelijkvormigheid:
XA = XR.
Bewijs geleverd!

Merk overigens op, dat vierhoek EARD een koordenvierhoek is (waarom?).
De omcirkel van die koordenvierhoek, en dat is ook de omcirkel van driehoek DEA, geeft je dus een tweede mogelijkheid om het punt R te construeren.

Hieronder staat de analysefiguur voor de tweede oplossing van jouw raccorderingsprobleem.
Hierbij is gebruik gemaakt van de bedoelde koordenvierhoek; in dit geval de omcirkel van driehoek CEA.

Het probleem zoals je dat hierboven stelde, behoort tot het zogenoemde Raakprobleem van Apollonius, dat in z'n algemeenheid luidt:

Gegeven zijn drie cirkels. Construeer de gemeenschappelijk raakcirkels van die cirkels.

(er zijn maximaal 8 oplossingen van het algemene probleem!)

Je kan een rechte lijn opvatten als een cirkel met oneindig grote straal en een punt als een cirkel met een straal
gelijk aan 0.
De Apollonius-classificatie (een door mij zelf bedachte term) van jouw probleem is dan:
A(punt,lijn,cirkel) = A(111)
waarbij in dit geval het punt op de lijn ligt.
Het algemene geval bij het Raakprobleem van Apollonius is A(003).
Het eenvoudigste is A(300):
Construeer een cirkel die door drie punten gaat: de omcirkel van de driehoek met die punten als hoekpunt.

Hieronder staat de analysefiguur van A(111), waarbij het punt A nu niet meer op de lijn a ligt.
A(111) laat zich eveneens oplossen door te kijken naar een koordenvierhoek, namelijk DERT.

We construeren daarbij allereerst een punt B op CA dat ook op de gezochte cirkel ligt.
De overwegingen daarbij zijn:
CD x CE = CR x CT, en
CR x CT = CB x CA
zodat: CD x CE = CB x CA
Uit deze laatste betrekking kan CB (op de lijn CA) worden geconstrueerd als vierde evenredige, immers CD, CE, CA zijn bekend.
De gezochte cirkel is dan een cirkel die gaat door de punten A en B en raakt aan de lijn a.
Hierdoor is probleem A(111) teruggebracht tot probleem A(210), dat eenvoudiger tot oplossing te brengen is.

Overigens, uit CD x CE = CB x CA volgt dat ook D, E, A en B op een cirkel liggen. We kunnen dus ook (nu) de omcirkel van driehoek DEA gebruiken om het punt B te vinden (zie boven).

N.b. Als A hier op de lijn a ligt, vallen P en T met A samen; B valt dan samen met R.

Voor een verdere uiteenzetting over het Raakprobleem van Apollonius zie onderstaande link.

Succes verder!
Zie Raakprobleem van Apollonius

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 13 maart 2004