WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Arctan reeksen

hoe moet je de volgende vraag maken?
vind zoveel mogelijk relaties van de vorm p/4=arctan 1/N1+1/N2+....arctan 1/Nk met N1....Nk positief geheel?
ik hoop dat jullie me kunnen helpen hierbij.
sha
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 5 februari 2004

Antwoord

Dit is een eindopdracht uit het Zebraboekje uit de Epsilonreeks nummer 6:PI.
De tip die er bij staat is: probeer om te beginnen alle positief gehele p, q te vinden zo, dat
p/4=arctan(1/p)+arctan(1/q).

Direct hiervoor wordt in paragraaf 6.1 de arctangensidentiteit:
arctan(1/2)+arctan(1/3)=p/4 afgeleid.
De afleiding hiervan berustte op de somformule voor de tangens:
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
zodat
tan(arctan(1/2)+arctan(1/3)=(¹/₂+¹/₃)/(1-¹/₂.¹/₃)=1.
We zoeken dus getallen 1/p en 1/q zodat (1/p+1/q)/(1-1/p.1/q)=1. (met p en q positief geheel).
Het lijkt me dan handig om deze breuk eerst eens een beetje te fatsoeneren:
De teller wordt (p+q)/pq, de noemer wordt (pq-1)/pq, dus de hele breuk wordt (p+q)/(pq-1) en dat moet 1 zijn.
Handig lijkt me nu b.v. q=p+1, q=p+2,....q=p+c te kiezen en te kijken of de resulterende vierkantsvergelijking gehele oplossingen heeft.
Wellicht kom je zo een stapje verder. Succes.

De andere tip uit het boekje is:
Een andere mogelijkheid is om de computer van dergelijke relaties te laten onderzoeken en vervolgens de gevonden waarden van n1,n2... te controleren met de optelformule voor de tangens.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 8 februari 2004