WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Inhoud tetraëder

Dit is een reactie op vraag 9893

Je zou de tetraëder zelf ook als piramide kunnen zien? dus met de formule I=¹/₃G·h, waarbij G=¹/₄·a²·tan60 en h=³/₄·a² is,dus

I=¹/₃·(¹/₄·a²·tan60)·(³/₄a²)

Vereenvoudigd:

I=((¹/₂a)^8)·tan60

klopt deze formule? en is er nog een andere (eenvoudige) manier?
alvast bedankt,
Bas
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 25 januari 2004

Antwoord

Dag Bas,

Ik ga uit van dezelfde figuur als in het antwoord op de oorspronkelijke vraag.

Ook nu is a de lengte van de ribbe van de 'omhullende' kubus.
Inderdaad kan je het viervlak EDBG opvatten als een piramide: top E, grondvlak BDG.
De hoogte van de piramide is dan EK, waarbij K het zwaartepunt is van de gelijkzijdige driehoek BDG.
Uit de tekening (rechts) kan je eenvoudig afleiden, dat EK = ²/₃EC.

Hoe je aan de door jou genoemde formules bent gekomen, kan ik niet volgen. Ze kloppen volgens mij niet.
Alleen al tan 60 = √3 geeft te denken, omdat in de inhoud van het viervlak √3 niet voorkomt (zoals onderstaand - en ook in het eerder gegeven antwoord - blijkt).
En waar komt die exponent 8 in de uitdrukking voor I vandaan? Ik komt bij vereenvoudiging tot a⁴...

Voor de hoogte h van piramide E.BDG vinden we:
h = EK = ²/₃EC = ²/₃a√3

De oppervlakte van een willekeurige driehoek PQR is gelijk aan ¹/₂.q.r.sin(P), waarbij q en r de zijdes van PQR zijn die het hoekpunt P gemeenschappelijk hebben.

Voor driehoek BDG vinden we dan:
'G' = ¹/₂.a√2.a√2.sin(60) = a².¹/₂√3 = ¹/₂a²√3
Zodat we weer vinden:

I = ¹/₃Gh = ¹/₃.¹/₂a²√3.²/₃a√3 = ¹/₃a³ ......(1)

Zij nu b de lengte van de ribbe van het viervlak, dan is b = a√2, waaruit volgt a = b/√2
Subsitueren we dit in (1), dan vinden we:

I = ¹/₃ . b/√2 . b/√2 . b/√2 = ¹/₆b³.¹/₂√2 = ¹/₁₂b³√2

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 26 januari 2004