De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Poolvergelijking

hoe bereken ik de oppervlakte ingesloten door de kromme gegeven in poolvergelijking $\rho$= √(cos(2$\theta$))

ik weet dat ik hiervoor een formule moet gebrijken maar ik bekom steeds een foute uitkomst

kan u me de uitwerking geven?

bedankt

julie
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 3 januari 2004

Antwoord

Hallo julie,

Ik weet niet welke formule je moet gebruiken,maar er is wel iets anders wat je kan doen:
De carthetische coordinaten van de kromme luidt:
x[$\theta$]=$\rho$·cos[$\theta$]=cos[2$\theta$]·cos[$\theta$]
y[$\theta$]=$\rho$·sin[$\theta$]=cos[2$\theta$]·sin[$\theta$]
Er geldt x2+y2=cos[2$\theta$],er geldt ook x2-y2=cos[2$\theta$]·(cos2[$\theta$]-sin2[$\theta$]])=cos2[2$\theta$]].

Je heb 2 vergelijkingen voor x,y en die moet je oplossen naar y:
x2-y2=(x2+y2)2=x4+2·x2·y2+y4 alles naar een kant:
y4+y2·(2·x2+1)+(x4-x2)=0 subtitutie p=y2 en daarna abc formule levert:
y2=((-2x2-1±(8·x2+1))/2) de enige 2 mogelijkheden zijn:
y[x]=±((-2x2-1±(8·x2+1))/2).

De grafiek van deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as(vanwege de plus min in de zo net verkregen functie) en is symmetrisch t.o.v. de y-as(vanwege y[x]=y[-x]).Vanwege deze eigenschappen kunnen we de oppervlakte onder de grafiek van de recther boven kwadrant berekenen en daarna dit met vier vermenigvuldigen om de totale oppervlakte te berekenen.
De x-as varieert in de rechter kwadrant tussen [0,1].
Wat we nu kunnen proberen is dus de integraal te berekenen:

$\int{}$((-2x2-1±(8·x2+1))/2)·dx voor x tussen [0,1]
Dit lijkt op zich ingewikkeld maar ter herrinnering,x=cos[2$\theta$]·cos[$\theta$].Dus voor x dit te subtitueren krijg je de oorspronkelijke y=cos[2$\theta$]·sin[$\theta$].
dx=(sin[$\theta$]·(cos[2$\theta$])-sin[2$\theta$]·cos[$\theta$]/(cos[2$\theta$))·d$\theta$=-d$\theta$·sin$\theta$·cos[2$\theta$]+sin[2$\theta$]·cos[$\theta$])/(cos[2$\theta$])=-sin[$\theta$+2$\theta$]/(cos[2$\theta$])·d$\theta$=-sin[3$\theta$]/(cos[2$\theta$)·d$\theta$.

De rechter gedeelte van de kromme wordt doorlopen tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4.
Dus de integraal wordt na subtitutie:
$\int{}$-sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$ tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4.

1 keer partiele integratie levert:
-$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=-([-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]-$\int{}$-cos[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]·d$\theta$.
2 keer partiele integratie:
-$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=
([-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+([sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]]-$\int{}$-9·sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$.
De laatste naar de andere kant brengen en:
8·$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=[-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+[sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]] en dus

-$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=(-[cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+[sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]])/-8 tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4.
De rest is gewoon invullen:
Invullen levert 0.25
Dit met 4 vermenigvuldigen levert als oppervlakte ingesloten door de kromme: 1 op.

CW
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 januari 2004



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3