WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Poolvergelijking

hoe bereken ik de oppervlakte ingesloten door de kromme gegeven in poolvergelijking $\rho$= √(cos(2$\theta$))

ik weet dat ik hiervoor een formule moet gebrijken maar ik bekom steeds een foute uitkomst

kan u me de uitwerking geven?

bedankt
julie
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 3 januari 2004

Antwoord

Hallo julie,

Ik weet niet welke formule je moet gebruiken,maar er is wel iets anders wat je kan doen:
De carthetische coordinaten van de kromme luidt:
x[$\theta$]=$\rho$·cos[$\theta$]=√cos[2$\theta$]·cos[$\theta$]
y[$\theta$]=$\rho$·sin[$\theta$]=√cos[2$\theta$]·sin[$\theta$]
Er geldt x²+y²=cos[2$\theta$],er geldt ook x²-y²=cos[2$\theta$]·(cos²[$\theta$]-sin²[$\theta$]])=cos²[2$\theta$]].

Je heb 2 vergelijkingen voor x,y en die moet je oplossen naar y:
x²-y²=(x²+y²)²=x⁴+2·x²·y²+y⁴ alles naar een kant:
y⁴+y²·(2·x²+1)+(x⁴-x²)=0 subtitutie p=y² en daarna abc formule levert:
y²=√((-2x²-1±√(8·x²+1))/2) de enige 2 mogelijkheden zijn:
y[x]=±√((-2x²-1±√(8·x²+1))/2).

De grafiek van deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as(vanwege de plus min in de zo net verkregen functie) en is symmetrisch t.o.v. de y-as(vanwege y[x]=y[-x]).Vanwege deze eigenschappen kunnen we de oppervlakte onder de grafiek van de recther boven kwadrant berekenen en daarna dit met vier vermenigvuldigen om de totale oppervlakte te berekenen.
De x-as varieert in de rechter kwadrant tussen [0,1].
Wat we nu kunnen proberen is dus de integraal te berekenen:

$\int{}$√((-2x²-1±√(8·x²+1))/2)·dx voor x tussen [0,1]
Dit lijkt op zich ingewikkeld maar ter herrinnering,x=√cos[2$\theta$]·cos[$\theta$].Dus voor x dit te subtitueren krijg je de oorspronkelijke y=√cos[2$\theta$]·sin[$\theta$].
dx=(sin[$\theta$]·√(cos[2$\theta$])-sin[2$\theta$]·cos[$\theta$]/√(cos[2$\theta$))·d$\theta$=-d$\theta$·sin$\theta$·cos[2$\theta$]+sin[2$\theta$]·cos[$\theta$])/√(cos[2$\theta$])=-sin[$\theta$+2$\theta$]/√(cos[2$\theta$])·d$\theta$=-sin[3$\theta$]/√(cos[2$\theta$)·d$\theta$.

De rechter gedeelte van de kromme wordt doorlopen tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4.
Dus de integraal wordt na subtitutie:
$\int{}$-sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$ tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4.

1 keer partiele integratie levert:
-$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=-([-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]-$\int{}$-cos[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]·d$\theta$.
2 keer partiele integratie:
-$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=
([-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+([sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]]-$\int{}$-9·sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$.
De laatste naar de andere kant brengen en:
8·$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=[-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+[sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]] en dus

-$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=(-[cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+[sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]])/-8 tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4.
De rest is gewoon invullen:
Invullen levert 0.25
Dit met 4 vermenigvuldigen levert als oppervlakte ingesloten door de kromme: 1 op.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 januari 2004