De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Vergelijking van rechten van een regeloppervlak

Hallo, ik zit hier vast met een bepaalde oefening.
De bedoeling is zoals in de titel staat om een carthesische vgl te vinden voor de rechten door een punt p die volledig tot een regeloppervlak M. behoren.

Ik kan er een stelsel van opstellen maar zie niet in hoe ik het dan verder moet oplossen.

Vb:
M: x2 + 2y2 = 2yz + 2xy
p(2, 1, 1)

ik heb:
x2 + 2y2 = 2yz + 2xy
x = 2 + ka
y = 1 + kb
z = 1 + kc

als ik nu x2 + 2y2 = 2yz + 2xy ga invullen met de andere vgl krijg ik
k2(a2 + 2b2 - 2bc - 2ab) + k(2a - 2b - 2c) = 0

blijkt dat ik mag zeggen dat
a2 + 2b2 - 2bc - 2ab = 0
2a - 2b - 2c = 0

en blijkt ook dat ik voor 1 waarde een willekeurig getal mag nemen.

Maar hieruit haal ik nog steeds geen gewenste vergelijking.
Is er iet fout met deze methode, of wat moet ik juist anders doen of begrijpen??

Frank

Frank
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 15 oktober 2003

Antwoord

De vector [a,b,c] geeft de richting aan van de bewuste rechte, die gegeven wordt door [x,y,z]=[2,1,1]+k[a,b,c].

Merk inderdaad op dat veelvouden van een oplossingsvector ook oplossingen zullen zijn. Je kan dus een soort genormeerde oplossing zoeken door een van de getallen {a,b,c}, stel dat we c kiezen, een bepaalde waarde op te leggen, als je tenminste op voorhand weet dat het getal dat je kiest, c, niet nul is. Meestal geeft dat geen problemen maar soms wel. Het is veiliger om eerst even het nul-geval te controleren en dan pas het geval waarin c een niet-nul waarde aanneemt te bekijken.

Omdat de rechte volledig tot het oppervlak moet behoren moet voor alle k voldoen worden aan de vergelijking van het oppervlak, wat inderdaad overeenkomt met het nul stellen van de coefficienten, aangezien de nulveelterm de enige veelterm is die overal nul is (en dus een oneindig aantal nulpunten heeft).

Geval c=0 (- rechten evenwijdig met het xy-vlak)
Als c=0 dan is volgens de tweede vergelijking b=a. De eerste vergelijking zegt dan dat a=0. Conclusie: a=b=c=0 zodat enkel het punt P op het oppervlak ligt. Er zijn dus geen rechten evenwijdig met het xy-vlak die volledig in het oppervlak liggen.

Geval c niet nul
We kiezen een waarde voor c, bijvoorbeeld c=1. Nu is volgens de tweede vergelijking b=a-1. Substitueer dat in de eerste vergelijking, die dan enkel nog van a afhangt. De enige oplossing blijkt uiteindelijk [a,b,c]=[2,1,1] te zijn, en aangezien dat ook de coordinaten van P zijn, gaat het over de rechte door P en door de oorsprong. Die rechte heeft als parameter vergelijking [x,y,z]=k[2,1,1].

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 16 oktober 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3