De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Vectoren (lineair onafhankelijk)

Goedemiddag, ik krijg hier weer een bewijs als opdracht en ik weet niet hoe ik eraan moet beginnen zoals gewoonlijk. Het gaat m om verctoren, zodus v staat voor vector: "Zijn v1 en v2 Î tot de n-de macht lineair onafhankelijk dan zijn ook v1 en v1 + v2 lineair onafhankelijk. Bewijs." Om te bewijzen dat vectoren in een bep. ruimte lin. onafh. zijn, hebben we deze telkens onder elkaar in een matrix gezet en dan de spilmethode toegepast, verkregen we het bijhorende eenheidsmatrix, noemden we deze vectoren lin. onafh. Maar bij bovenstaand bewijs, zou ik niet weten hoe eraan te beginnen. Bij deze hoop ik dan ook op jullie hulp, alvast bedankt!!

S. uit
3de graad ASO - maandag 13 oktober 2003

Antwoord

Hoi,

Een lineaire combinatie van een stel vectoren vi is een vector die je kan schrijven als $\sum$ai.vi. De vectoren vi zijn lineair onafhankelijk als je de 0-vector maar op precies één manier kan schrijven als linaire combinatie, namelijk die met alle coëfficiënten 0. Formeel:
$\sum$ai.vi=0 $\Rightarrow$ 'i:ai=0

In jouw opgave weten we dat v1 en v2 lineair onafhankelijk zijn, dus hebben we dat:
x.v1+y.v2=0 $\Rightarrow$ x=y=0

Om de (on)afhankelijkheid van v1 en v1+v2 te onderzoeken, kijken we wanneer hun lineaire combinaties 0 worden:
a.v1+b.(v1+v2)= 0
$\Rightarrow$
(a+b).v1+b.v2 = 0
$\Rightarrow$ (v1 en v2 zijn lineair onafhankelijk)
a+b=b=0
$\Rightarrow$
a=b=0

De enige lineaire combinatie van v1 en v1+v2 is dus die met coëfficiënten 0. Dit bewijst hun lineaire onafhankelijkheid.

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 13 oktober 2003
 Vectoren (lineair afhankelijk) 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3