WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kwadriekreductie

Hoe kan ik de volgende kwadriek reduceren. maw basisveranderingen doorvoeren om een zo eenvoudig mogelijke vorm te krijgen.

-3·x²+3·z²-8·x·z+5·y+3

(Ik weet dat het een hyperbolische paraboloide moet zijn maar ik kom niet tot de standaardvergelijking, die van de vorm
x²/p - y²/p=2z
moet zijn. Toch?)

Deze kwadriek heeft geen affiene middelpunten hé? Of heb ik dit verkeerd voor?

Als dat wel het geval is kan ik de oorsprong naar het middelpunt verschuiven en nadien de eigenwaarden bereken van de matrix die bij de kwadriek hoort. Zo vind ik de gereduceerde vergelijking. Maar maar deze lukt dat dus niet. Wie helpt...
Koen M
Student universiteit België - vrijdag 15 augustus 2003

Antwoord

Hi Koen,

-3x²+3z²-8xz+5y+3 als je nu eens die 3z²-8xz aanvult met een aantal keer x² zodat je een volkomen kwadraat krijgt, dus (Ö3z-4x/Ö3)², voeg dus 16/3 x² toe en trek die er ook weer af natuurlijk. Dan kan je die Ö3z-4x/Ö3 de nieuwe z noemen en dan heb je toch al de vorm -ax²+z²+5y+3 met a=-25/3 denk ik. Als je dan nog Öax hernoemt tot x (werk wel met accenten, dat is wat overzichtelijker), en je gooit die 3 nog bij die 5y, dus je noemt 5y+3 de nieuwe y, dan kom je al tot
-x²+z²+y en dat is ongeveer de vorm die je wou hebben.
Als je dan nog voor elk van deze transformaties de matrix noteert, en alles vermenigvuldigt (maar ik weet niet of dat wel expliciet gevraagd is), heb je de matrix van de basisovergang.

Wat die techniek met dat affien middelpunt en die eigenwaarden betreft, tja dat zegt mij niet zoveel meer, misschien dat dat bij deze kwadriek wel mogelijk is hoor maar dat kan ik me niet direct herinneren.
Ik hoop dat je der iets aan hebt.

Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 17 augustus 2003