WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Inhoud tube

Ik zou voor een opdracht de inhoud van een tube, met formule moeten vinden. Ik zit echter flink in de knoop en blijf een beetje steken bij de formule van de cilinder en doe er dan maar het geraden naar. Heeft iemand een beter voorstel hoe ik precieser die inhoud + formule kan vinden? Geen pasklare antwoorden, ik moet het zelf kunnen snappen.

Ik zoek dus een soort van formule om de inhoud van een tube tandpasta, gel, enz... te vinden.
Alvast bedankt.
Saskia
Student Hoger Onderwijs België - maandag 28 juli 2003

Antwoord

Hangt allemaal een beetje af van hoe je de vorm van een tube modelleert. Je zou er heel veel parameters in kunnen stoppen om op die manier alle mogelijke soorten tubes te kunnen behandelen, maar dat beperkt in zekere mate de handigheid en/of bewerkbaarheid van de formule.

Je zou er bijvoorbeeld vanuit kunnen gaan dat alle doorsneden loodrecht op de as van de tube ellipsen zijn. Aan het ene uiteinde een cirkel (ellips met gelijke assen), aan het andere uiteinde een lijnstuk (ellips met 1 as gelijk aan nul).

Laten we nu de bijkomende veronderstelling maken dat de beide ellipsassen lineair veranderen. Voor de as evenwijdig met het platte uiteinde is dat vrij plausibel, voor de andere as lijkt me dat minder geschikt, want dat zou betekenen dat het plattere stuk van de tube echt wel veel minder inhoud zou hebben dan het stuk bij de dop. Maar goed, het is maar een model natuurlijk. Laten we eens zien wat het geeft

Noem B de straal van het ronde stuk aan de dopzijde. Noem A de halve breedte van het platte uiteinde en L de lengte van de tube. Als x de afstand voorstelt gemeten vanaf het platte uiteinde dan geldt:

as1(x) = Bx/L
as2(x) = B+(x-L)(B-A)/L

De bijbehoren ellips heeft dan oppervlakte Opp(x)=pas1(x).as2(x)

Het volume van de tube is dan

V = ₀ò^LOpp(x)dx

Na uitwerken bekom je

V = (p/3).(B²L) + (p/6).(BLA)

Als A=B en de breedte van de tube dus vrij constant blijft, geldt

V = (p/2).B²L

en dat is dus de helft van de cilinderbenadering.

Laten we onze formule even toepassen op een "echte" tube tandpasta. Ik meet hier L=16cm, A=2cm en B=1.4cm zodat V=56ml. Op de tube zelf staat 75ml, we zitten er dus toch best nog wat naast.

De reden daarvan heb ik al aangehaald: het platter worden van de tube naar het einde verloopt niet helemaal recht. Daar kan je bvb een parabolisch verloop voor vooropstellen

as1(x) = B/L².x.(2L-x)

Voor het volume bekomen we dan na, het uitrekenen van de integraal,

V = (p/12)BL(5B+3A)

Voor A=B herleidt deze formule zich tot

V = (2p/3)B²L

dus 2/3 van de cilinderbenadering. Voor onze "echte" tube vinden we V=76ml, verrassend dichtbij het opgegeven volume.

Maak nu niet de fout te denken dat de formule die ik hier net gegeven heb DE "tubeformule" is. Ze lijkt gewoon in dit geval goeie resultaten te leveren. Was dat niet het geval geweest, dan hadden we een nieuw model moeten vooropstellen omdat er dan blijkbaar aspecten zijn aan een tube die niet goed werden voorgesteld in ons oude model.

Dat gedrag zie je vaak in de wetenschappelijke wereld. Je maakt een model, trekt uit dat model conclusies, en pas als je conclusies niet in overeenstemming blijken te zijn met de werkelijkheid, pas je je model aan. Ik ben tevreden met het resultaat, dus ik pas mijn model niet verder aan

Merk ook op dat het praktisch verifieren niet zo eenvoudig is. Ik heb drie grootheden moeten meten en op elk van de drie zal ik behoorlijk wat meetfouten gemaakt hebben. Op het eindresultaat zullen die meetfouten een grote invloed hebben, zeker omdat de meesten in produktvorm voorkomen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 4 augustus 2003