De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Re: Re: Re: Reeksen van getallen

 Dit is een reactie op vraag 93540 
voor jouw stelling heb ik een voorbeeld gegeven.

Mike
Student universiteit BelgiŽ - woensdag 13 april 2022

Antwoord

Een voorbeeld bewijst niks, en de stelling geldt ook niet.
Er geldt
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt n}=1
$$maar
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+\sqrt n}}{(n+\sqrt n)^n}=\infty
$$Deel teller en noemer door $n^n$, je krijgt
$$\frac{n^{\sqrt n}}{(1+\frac1{\sqrt n})^n}
$$Neem de logaritme:
$$\sqrt{n}\ln n -n\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)
$$Dat is gelijk aan
$$\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
$$Door gebruik te maken van $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ zien we dat
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)=1
$$Dit laat zien dat
$$\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
$$naar oneindig gaat, en de oorspronkelijke breuk dus ook.

De stelling die je wilde toepassen geldt dus niet.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 13 april 2022



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3