De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Integraal met substitutie of niet

 Dit is een reactie op vraag 93507 
Goede avond Jan en KP,
De uitleg van KP ligt een beetje moeilijk en graag nog wat uitleg. Andere oefening (tweede)zonder problemen opgelost.
Goede nacht
Rik

Rik Lemmens
Iets anders - zaterdag 2 april 2022

Antwoord

We beginnen met
$$\int\frac1{x\sqrt{x^2+x+1}}\,\mathrm{d}x
$$De eerste stap is kwadraat afsplitsen in $x^2+x+1$; dat wordt $\eqalign{(x+\frac12)^2+\frac34}$.
Vervang $\eqalign{x+\frac12}$ door $y$:
$$\int\frac1{(y-\frac12)\sqrt{y^2+\frac34}}\,\mathrm{d}y
$$Je kunt de wortel iets mooier maken door $\eqalign{y=\frac{\sqrt3}{2}z}$ te nemen: dan $\eqalign{y^2+\frac34=\frac34z^2+\frac34=\frac34(z^2+1)}$; er komt
$$\int\frac1{\frac{z\sqrt3-1}2\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\sqrt{z^2+1}}
\frac{\sqrt3}2\,\mathrm{d}z
=\int\frac2{z\sqrt3-1}\cdot\frac1{\sqrt{z^2+1}}\,\mathrm{d}z
$$Nu bekijken we deze driehoek:
q93510img1.gif
We substitueren $z=\tan t$.
Dan krijgen we ook $\eqalign{\frac1{\sqrt{z^2+1}}=\cos t}$ en $\eqalign{\mathrm{d}z=\frac1{\cos^2t}\,\mathrm{d}t}$.
Er komt
$$\int\frac2{\sqrt3\tan t-1}\cdot\cos t\cdot\frac1{\cos^2t}\,\mathrm{d}t
=\int\frac2{\sqrt3\sin t-\cos t}\,\mathrm{d}t
$$Voor dit soort integralen is $u=\tan\frac12t$ een veelgebruikte substitutie.
q93510img2.gif
Nu krijgen we $\eqalign{\sin\frac12t=\frac u{\sqrt{u^2+1}}}$ en $\eqalign{\cos\frac12t=\frac1{\sqrt{u^2+1}}}$ en door de verdubbelingsformules vinden we
$$\sin t=\frac{2u}{u^2+1},\qquad
\cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2}, \quad\text{ en }\quad
\tan t=\frac{2u}{1-u^2}
$$Met $t=2\arctan u$ komt er uiteindelijk
$$\int \frac2{\frac{2\sqrt3u}{1+u^2}-\frac{1-u^2}{1+u^2}}\cdot
\frac2{1+u^2}\,\mathrm{d}u=
\int \frac4{u^2+2\sqrt3u-1}\,\mathrm{d}u
$$De noemer kunnen we ontbinden als $(u+\sqrt3-2)(u+\sqrt3+2)$ en daarmee kunnen we de integraal schrijven als:
$$\int \frac1{u+\sqrt3-2}-\frac1{u+\sqrt3+2}\,\mathrm{d}u
$$De primitieve wordt dus
$$\ln(u+\sqrt3-2)-\ln(u+\sqrt3+2)
$$of
$$\ln\left(\frac{u+\sqrt3-2}{u+\sqrt3+2}\right)
$$Nu terugwerken.
Merk op dat we hebben gezien dat $\eqalign{z=\tan t=\frac{2u}{1-u^2}}$, hiermee kunnen we $u$ in $z$ uitdrukken: we lossen
$$zu^2+2u-z=0 \text{ of } u^2+\frac2zu-1=0
$$op: kwadraat afsplitsen geeft
$$\left(u+\frac1z\right)^2-\frac{z^2+1}{z^2}=0
$$en dus
$$u=-\frac1z\pm\frac1z\sqrt{z^2+1}
$$Omdat $u$ en $z$ hetzelfde teken moeten hebben nemen we
$$u=\frac1z\bigl(\sqrt{z^2+1}-1\bigr)
$$Nu nog netjes $\eqalign{z=\frac2{\sqrt3}(x+\frac12)}$ invullen en uitwerken.

NB we hadden de substituties $z=\tan t$ en $u=\tan\frac12t$ in een keer kunnen doen, met behulp van $\eqalign{z=\frac{2u}{1-u^2}}$ en $\eqalign{u=\frac1z\bigl(\sqrt{z^2+1}-1\bigr)}$, maar dat is wat onoverzichtelijker. Het zou wel een goede oefening in netjes werken zijn.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 4 april 2022
 Re: Re: Integraal met substitutie of niet 



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3