De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Eerste graad DV tweede lid nul

 Dit is een reactie op vraag 92906 
Ja, Klaas Pieter, het antwoord in de cursus is derhalve verkeerd.
Toch vind ik nog moeilijkheden bij het afwerken
Het antwoord in de cursus zou dan 2+y2+C√(x2+2) geweest zijn.
Waaraan is de oplossing dan finaal gelijk nu ?
Groetjes en dank voor je tijd.

Rik Le
Iets anders - zaterdag 20 november 2021

Antwoord

De nieuwe differentiaalvergelijking wordt
$$\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x-
\left(\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}} +
\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\right)\,\mathrm{d}y=0
$$Deze is inderdaad exact:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{y}{(y^2+2)^{\frac32}}
=\frac{\partial N}{\partial x}
$$Voor het oplossen moeten we $\int M\,\mathrm{d}x$ en $\int N\,\mathrm{d}y$ hebben.
De eerste is makkelijk:
$$\int\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x = \frac x{\sqrt{y^2+2}} + h_1(y)
$$De tweede is
$$\int -\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y+
\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=\frac x{\sqrt{y^2+2}}+
\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
$$we vinden dus:
$$h_1(y)=\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
$$We gebruiken partiŽele integratie:
$$\int(y^2+y)\cdot-\frac y{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=(y^2+y)\cdot\frac1{\sqrt{y^2+2}}-\int\frac{2y+1}{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y
$$Met $\int\frac y{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y=\sqrt{y^2+2}$, en $\int\frac 1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y=\ln(y+\sqrt{y^2+2})$ (tabel) komen we op
$$\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=\frac{y^2+y}{(y^2+2)^{\frac32}}-2\sqrt{y^2+2}-\ln(y+\sqrt{y^2+2}) +C
$$De totale oplossing is dus
$$\frac x{\sqrt{y^2+2}}+
\frac{y^2+y}{(y^2+2)^{\frac32}}-2\sqrt{y^2+2}-\ln(y+\sqrt{y^2+2})=C
$$Met zorgvuldig partieel differentiŽren zul je zien dat dit de oplossing van de exacte differentiallvergelijking aan het begin is.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 21 november 2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3