De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Integreren breuk onder wortelteken

Goede morgen,
Ik zoek al even naar een passende substitutie en vermoed ik dat hier partiŽle integratie moet worden toegepast.
Integraal I={√(1-x)dx:√(1+x).
Het resultaat zou moeten zijn:
√(1-x2-2arcsin(√(1-x):√2+C.
Ik had de noemer al wortelvrij gemaakt maar ik geraak er niet uit.
Graag een of meer tips als het even kan .
Nog een fijne dag .
Rik

Rik Le
Iets anders - vrijdag 14 mei 2021

Antwoord

Het antwoord klopt inderdaad (differentieer het) maar het is nogal een gedoe. Je kunt tot dat antwoord komen door $1+x$ te schrijven als $2-(1-x) = 2-\bigl(\sqrt{1-x}\bigr)^2$.
Je vindt dan
$$
\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2-\bigl(\sqrt{1-x}\bigr)^2}}
$$
dat suggereert de substitutie $u=\sqrt{1-x}$ (en dus $x=1-u^2$); dat geeft dan
$$
\int\frac{u}{\sqrt{2-u^2}}\cdot-2u\,\mathrm{d}u
$$
Daar is met wat moeite het antwoord wel uit te halen.

Iets eenvoudiger: vermenigvuldig teller en noemer met $\sqrt{1-x}$, het resultaat is
$$
\int\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=
\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x
$$
en die is een stuk makkelijker.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 14 mei 2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3