De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Werkstuk met cirkels en gelijke koorden

Hieronder de opgave en mijn oplossing waar ik toch niet helemaal tevreden over ben, omdat het een benadering betreft.




Gegeven: Rechte a en cirkels C1(M, R) en C2(N, r).
Gevraagd: Teken een rechte p // a waarvan (C1) en (C2) gelijke koorden afsnijden.

Oplossing:

a) Voorbereiding: empirisch werd vast gesteld dat hier een oplossing mogelijk is, als het middelpunt van de cirkel met de grootste straal, het laagst ligt t.o.v. de rechte a. Dus in bovenstaande
figuur is dat zeker het geval. Bovendien zal de gevonden oplossing het gevolg zijn van een soort iteratief proces.

b) Uitvoering: Zorg voor een gunstige uitgangspositien , nl. NT2 $>$ MT1 met r $>$ R. Stel dan MT1 = d1 en NT2 = d2, dan noteren we de voorwaarde uit de voorbereiding als d2 - d1 $>$ 0 en r $>$ R.

Teken een schaar van evenwijdige rechten met de rechte a. Deze snijden koorden af van de cirkels (C1) en (C2). We stellen hierbij vast dat K1L1 $>$ P1Q1, K2L2 $>$ P2Q2, K_ L_ $>$ P3Q3 maar KL4 $<$ P4Q4, K5L5 $<$ P5Q5, enz...

Dus tussen g3 en g4 alsook tussen h3 en h4 zit er een koorde KL resp. PQ die beide op de rechte p // a liggen, waarvan men kan zeggen dat KL = PQ. De rechte p // a snijdt dus gelijke koorden af van (C1) en (C2).

Het volstaat hiervoor om op de figuur K3Q3Q4K4, dat overeenstemt met een trapezium, de middenparallel aan te brengen om aldus die rechte p te vinden.

c) Bewijs: Daar de kleine en de grote basis van het trapezium evenwijdig zijn met a, zal de middenparallel p dat ook zijn.

d) Bespreking: → d2 - d1 $>$ 0 ∧ r $>$ R : juist één oplossing.
→ d1 - d2 $>$ 0 ∧ R $>$ r : juist één oplossing.
→ MN // a ∧ R ≠ r: geen oplossing mogelijk.
→ MN // a ∧ R = r: oneindig veel oplossingen; elke evenwijdige p aan a die beide cirkels snijdt, zal gelijke koorden afsnijden.

VRAAG: Is het hier mogelijk een exacte oplossing te vinden en dus niet een benadering. Indien dit toch mogelijk zou zijn in dit werkstuk, had ik graag een tip gekregen. Bedankt bij voorbaat!

Yves D
Iets anders - maandag 3 februari 2020

Antwoord

Beste Yves,

Heb je het volgende al eens geprobeerd?
Projecteer $M$ loodrecht naar $M'$ op $NT_2$. Teken $C_3(M',R)$.
Wat weet je dan over de lijn door de snijpunten van $C_2$ en $C_3$?

Met vriendelijke groet,

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 3 februari 2020



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb