WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Berekeningen met behulp van de gulden snede

Zie http://www.pandd.demon.nl/sectioaurea.htm
1. Onderdeel 2.1. Phi.
Hier snap ik bij het bewijs niet de regel; 'Nu is AQ = AC = (a√5)/2 - ¹/₂a = a(√5 - 1)/2.'
Ik snap/zie niet hoe ze van de voorafgaande regels deze regel kunnen maken.

Zie http://www.pandd.nl/sectioaurea/sa₂.htm#3
2. Onderdeel Construct. Regelmatige vijfhoek, Eerste Constructie.
Hier snap/zie ik bij het bewijs niet hoe ze komen aan de regel; 'Zodat OS = 1/(1 + √5) . 2 = 2 / (1 + √5).' En vervolgens ook de regel; 'Dan is: cos BOS = OS / OB = 1 / (1 + √5) = ¹/₄(√5 - 1).' Hierbij het laatste gedeelte; '= 1 / (1 + √5) = ¹/₄(√5 - 1).'
Ook bij dit onderdeel snap ik niet hoe ze uit het voorafgaande bij dit uitkomen.

Zie http://www.magoe.net/lui/pentagram.html
3. Onderdeel De hoeken.
Hier snap/zie ik wederom niet de regel; 'MA = 2 · MS + (MS/(cos 2∠PAN)) = (2 + (1/(cos 2∠PAN)) · MS.'
Ik zie niet hoe ze hierbij komen.

Zou iemand mij bij een van deze 3 onderdelen kunen uitleggen hoe ze bij deze 'regels' komen? Waarschijnlijk is het vrij simpel, maar als ik het even zie, is het al genoeg

Groeten Ramon.
Ramon
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 15 februari 2008

Antwoord

Dag Ramon,

1. AQ=AC omdat zowel Q als C op dezelfde cirkel met middelpunt A liggen. Bovendien geldt AQ=AP-PQ waarbij je net AP hebt uitgerekend, en waarbij PQ=PB (wegens constr.: Q en B liggen op de cirkel met middelpunt P) en PB=BM (want P en M liggen op dezelfde cirkel met middelpunt B). En BM ken je: M is het midden van AB=a, dus BM=a/2.

2. Als OS/AS=1/√5 dan AS=OS·√5. En je weet dat OA=2=OS+AS dus
2=OS+OS√5=OS(1+√5) dus OS=2/(1+√5).
Vermits OB=2 heb je dan dat OS/OB=1/(1+√5). Om die wortelvorm in de noemer weg te werken, kan je teller en noemer vermenigvuldigen met (√5-1), zo krijg je
(√5-1)/((√5+1)(√5-1))=(√5-1)/4.

3. Er staat dat MA=MS+PS+PA en MS=PS dus je krijgt
MA = MS+MS+PA = 2MS+PA.
Je moet dus enkel nog PA gaan bepalen. Maar uit (4) kan je PA halen. Immers, cos(SMN)=MS/AP dus AP=MS/cos(SMN).
En eerder was al aangetoond dat de hoek SMN het dubbele was van de hoek PAN (die redenering met de omtrekshoek en de middelpuntshoek). SMN=2PAN, vandaar dat
AP = MS/cos(SMN) = MS/cos(2PAN).
Alles samen:
MA = 2MS+MS/cos(2PAN) = MS·(2+1/cos(2PAN)) = MS·(2+1/cos(36°))
Dus MA/MS=2+1/cos(36°).

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 16 februari 2008