WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Grootste getal in bepaalde vorm

Wat is het grootste getal dat je niet kunt schrijven in de vorm 7n + 11m? Hierbij zijn m en n natuurlijke getallen. Meer in het algemaan: an + bm?
Bo
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 20 maart 2005

Antwoord

Dat getal is 59.

De vraag is natuurlijk hoe je aan de getallen n en m kunt komen.
Laten we eerst maar eens eentje nemen die wel kan, bijvoorbeeld 57.
Om te beginnen 57=8*7+1.
We hoeven nu alleen nog maar te weten hoe we 1 kunnen schrijven in de vorm 7p+11q (p mag negatief zijn)
Omdat 2*11=22=3*7+1 geldt dus 1=2*11-3*7.
Dus 57=8*7+1=8*7+2*11-3*7=5*7+2*11.

Als we dus willen weten hoe we een willekeurig getal kunnen schrijven als 7n+11m, dan bepalen we eerst de rest bij deling door 7.
Daarna schrijven we die rest in de vorm 7p+11q met p kleiner dan 1.
Omdat er bij deling door 7 alleen de resten 0,1,2,3,4,5 en 6 mogelijk zijn voldoet een klein tabelletje:
0=0+0*11
1=-3*7+2*11
2=-6*7+4*11
3=-9*7+6*11
4=-1*7+1*11
5=-4*7+3*11
6=-7*7+5*11.
Hoe zit het dan voor het getal 59:
59=8*7+3=8*7+(-9*7+6*11)=-1*7+6*11.
Je hebt dus nu een roosterpunt van de lijn 7n+11m=59 gevonden (-1,6). Alleen dit roosterpunt heeft een negatieve n-coordinaat. Om andere roosterpunten op deze lijn te vinden moet je óf 11 naar rechts en 7 naar beneden óf 11 naar links en 7 naar boven. Deze punten zijn (10,-1) en (-12,13).
Hoe zit het nu met getallen groter dan 59:
60: 8*7+4=8*7+(-1*7+1*11)=7*7+1*11
61: 8*7+5=8*7+(-4*7+3*11)=4*7+3*11
62: 8*7+6=8*7+(-7*7+5*11)=1*7+5*11
63: 9*7+0
Vanaf 63 krijg je altijd 7n+.. met n=9 en kun je nooit een negatieve oplossing voor n krijgen.

Nu het algemene geval: an+bm.
Allereerst dit:
Stel bijvoorbeeld a en b even, dan kun je een oneven getal nooit in de vorm an+bm schrijven.
Meer algemeen: a en b mogen geen gemeenschappelijke deler hebben anders kun je alleen veelvouden van deze deler in de vorm an+bm schrijven.
Hebben a en b geen gemeenschappelijke deler dan is het grootste getal dat je niet in de vorm an+bm kunt schrijven het getal (a-1)*(b-1)-1=ab-a-b=(a-1)b-a=(b-1)a-b
Andere roosterpunten krijg je door óf het aantal keren a met b te verhogen en het aantal keren b met a te verlagen of andersom.
Verlagen we in (b-1)a-b het aantal keren a met b dan en verhogen we het aantal keren b met a dan krijgen we juist (a-1)b-a, zodat je ziet dat hier geen roosterpunt mogelijk is in de vorm an+bm, met n en m positief.
Nemen we een grotere waarde dan (a-1)(b-1)-1 dan kan het wel, maar dat laat ik aan jou over!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 21 maart 2005

Re: Grootste getal in bepaalde vorm