|
|
\require{AMSmath}
Afleiden van de somregel van sinus
Hoe kan ik van de regel sin (a+b)= sin a·cos b+ cos a·sin b de formules sin(2a) en sin(a/2) afleiden. Alvast bedankt, roeten
Philip
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 25 mei 2003
Antwoord
Hoi,
Formule afleiden voor sin(a+b) = sina·cosb + cosa·sinb
Beschouw onderstaande rechthoek
P en Q zijn zo gekozen dat ÐAQP = 90° en AP = 1.
ÐPQC = a, want ÐBQA = 90° - a en ÐBQC = 180° (gestrekte hoek) Þ ÐPQC = 180°-ÐBQA - ÐAQP = 180° - (90° - a) - 90° = a.
ÐAPD = a+b, dat zou je kunnen bewijzen a.d.h.v. een Z-hoek, want AB // DC Þ ÐBAP = ÐDPA (je zou 't ook anders kunnen aanpakken: ÐADP = 90°, ÐDAP = 90° - (a+b) Þ Ð DPA = 180° - 90° - (90° - (a+b)) = a+b.
Nu gaan we 'n schema invullen (hou rekening met AP = 1)!
In de rechthoek geldt dat AD = BQ + QC. A.d.h.v. de tabel kunnen we laten zien dat sin(a+b) = AQ·sina+PQ·cosa, want sina=BQ/AQ en cosa=CQ/PQ en sin(a+b) = AD.
Invullen levert: AD = AQ·BQ/AQ + PQ·CQ/PQ Þ AD = BQ + CQ.
We kunnen die AQ en PQ ook vervangen. Krijgen we sin(a+b) = cosb·sina + sinb·cosa en aangezien bij de vermenigvuldiging de factoren van plaats mogen ruilen (want 4·3 = 3·4 bijvoorbeeld) mogen we ook schrijven sin(a+b) = sina·cosb+cosa·sinb.
Om de regel van cos(a + b) te bewijzen kun je gebruikmaken van het feit dat PD = AB - PC, en op analoge wijze krijg je dat cos(a+b) = cosa·cosb - sina·sinb (we noemen deze formules de somformules)
Je kunt nu ook op de verschilformules hieruit afleiden, maar dan moet je wel weten dat cos(-t) = cos(t), sin(-t) = -sin(t).
Formule afleiden voor sin(2a)
sin(2a) = sin(a+a). Dus gewoon b vervangen door a in bovenstaande formule.
sin(a+a) = sina·cosa + sina·cosa = 2sina·cosa.
cos(2a) gaat analoog, je krijgt cos2a - sin2a als uitkomst.
Formule afleiden van sin(1/2a)
Vervang in bovenstaande formule a door 1/4a.
sin(2·1/4a) = 2sin(1/4a)·cos(1/4a)
Ik hoop dat het zo wat duidelijker is geworden, zo niet dan hoor ik het wel,
Groetjes,
Davy.
Zie Meer informatie...
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 25 mei 2003
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|