Deelruimtes en vectorruimtes

In de bijlage staat de vraag, ik heb moeite met zien hoe de ruimtes deelruimtes zijn, zou u de uitleg van a,b,c misschien kunnen uitbreiden, hopelijk kom ik daarmee verder?
alvast bedankt

Shnya
Student universiteit - donderdag 28 december 2023

Antwoord

In het algemeen, gegeven een deelverzameling $H$:

1. laat zien dat de nulvector in de deelverzameling $H$ zit
   
2. laat zien: als $x,y\in H$ dan ook $x+y\in H$
   
3. laat zien: als $x\in H$ en $\lambda\in\mathbb{R}$ dan ook $\lambda x\in H$

De beschrijving van $\mathbb{R}^\infty_0$ is niet erg precies; wat betekent "groot genoeg", de correcte formulering is "er is een $N$ zó dat $x_n$ voor $n\ge N$". Welnu:

1. zit de nulvector, dat is de rij $x$ met alleen nullen, in $\mathbb{R}^\infty_0$?
   Antwoord: ja, want $x_n=0$ voor alle $n$, dus voor alle $n\ge1$.
   We kunnen $N=1$ nemen.
   
2. stel $x,y\in\mathbb{R}^\infty_0$, geldt $x+y\in\mathbb{R}^\infty_0$?
   Antwoord: ja, want er zijn $N$ en $M$ zó dat $x_n=0$ voor $n\ge N$ en $y_n=0$ voor $n\ge M$. Neem $L=\max\{N,M\}$, voor $n\ge L$ geldt dan $x_n=0$ en $y_n=0$, en dus ook $x_n+y_n=0$. Dus $L$ laat zien dat $x+y\in\mathbb{R}^\infty_0$.
   
3. stel $x\in\mathbb{R}^\infty_0$ en $\lambda\in\mathbb{R}$, geldt $\lambda x\in\mathbb{R}^\infty_0$?
   Antwoord: ja, want neem $N$ zó dat $x_n=0$ voor $n\ge N$, dan geldt ook dat $\lambda x_n=0$ voor $n\ge N$. Dus $N$ laat ook zien dat $\lambda x\in\mathbb{R}^\infty_0$
   

Dezelfde drie stappen moet je voor $l^\infty$ en $l^2$ zetten, waarbij je natuurlijk naar de voorwaarden moet kijken die die twee deelverzamelingen definiëren.

Het lastige bij $l^2$ is de som: als je weet dat $\lim_{n\to\infty}(x_1^2+\cdots+x_n^2)$ en $\lim_{n\to\infty}(y_1^2+\cdots+y_n^2)$ hoe bewijs je dan dat $\lim_{n\to\infty}((x_1+y_1)^2+\cdots+(x_n+y_n)^2)$ bestaat? Daar heb je wat kennis van reeksen voor nodig. Je kunt laten zien dat $(x_i+y_i)^2=x_i^2+2x_iy_i+y_i^2\le 2(x_i^2+y_i^2)$. Dan volgt uit het gegeven en het majorantencriterium dat $\lim_{n\to\infty}((x_1+y_1)^2+\cdots+(x_n+y_n)^2)$ inderdaad bestaat.

Toevoeging: Wat in de som $l^\infty$ wordt genoemd heet meestal $c_0$; het symbool $l^\infty$ staat voor de verzameling van alle begrensde rijen.

kphart
donderdag 28 december 2023

©2001-2024 WisFaq