Eerste orde differentiaalvergelijking

In een vloeistof A zit 40 liter water waarin 100 gram suiker is opgelost. In een tweede vloeistof B zit 30 liter zuiver water. Vanaf t=0 wordt vanuit A vloeistof naar B overgepompt met een constante snelheid van 10 l/min. Gelijktijdig wordt met een tweede pomp vloeistof van B overgepompt naar A aan een snelheid van 5 liter/min. Stel de hoeveelheid suiker in A voor door x(t).

Toon aan dat voor t in [0,8[ x(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking:

dx/dt = -(5/(30+5t) +10/(40-5t))x(t) +500/(30+5t)

Ik snap dit niet. Moet je dan eerst x(t) zoeken en dan invullen ?
EEn volgende vraag is om de diff op te lossen. Dat vind ik dan tegenstrijdig met de eerste....

Graag uw hulp.

bart
Student universiteit België - dinsdag 1 maart 2022

Antwoord

Die differentiaalvergelijking haal je uit de gegevens; die vertellen je hoeveel suiker het vat $A$ uitgaan en weer inkomt. Daarmee kun je de verandering van $x(t)$ uitdrukken in de functie $x(t)$ zelf:
$$\mathrm{verandering}=\mathrm{instroom}-\mathrm{uitstroom}
$$Bijvoorbeeld, op tijdstip $t$ zit er $40-5t$ liter vloeistof in $A$, daarvan wordt $10$ weggepompt, dat betekent dat $\eqalign{\frac{10}{40-5t}\times x(t)}$ suiker wegvloeit.
Dat draagt dus bij aan de uitstroom.

Zo kun je de instroom (via $B$) ook in $x(t)$ uitdrukken: in $B$ zit namelijk $100-x(t)$ suiker en $30+5t$ liter vloeistof.

Hiervoor heb je de formule voor $x(t)$ nog niet nodig; die vind je door de verkregen differentiaalvergelijking op te lossen.

kphart
woensdag 2 maart 2022

©2001-2024 WisFaq