Bewijs dat volgende driehoek gelijkzijdig is

Hallo,

Ik zit een beetje in de knoei met volgende oefening in mijn cursus:

We hebben een vierkant ABCD, daarbinnen nemen we een punt P zodanig dat de driehoek PCD gelijkbenig is met basishoeken 15°. Bewijs dat de driehoek PAB gelijkzijdig is.

Mijn tekening klopt volgens mij, mijn afmetingen bevestigen dat driehoek PAB gelijkzijdig is. Deze oefening staat onder het hoofdstuk van de goniometrische formules, maar ik zie niet direct een manier om het daarmee op te lossen. Iemand die kan helpen?

Ellen
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 28 augustus 2018

Antwoord

Hallo Ellen,

Noem de lengte van de zijde van het vierkant bijvoorbeeld $x$. Teken door $P$ een lijn evenwijdig met $BC$. Die snijdt $CD$ in $Q$ en $AB$ in $R$. Natuurlijk is $QR=x$.

Je kunt vervolgens de tangens van 15° berekenen met de bekende verschilformules voor de sinus en de cosinus:
$\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$.
$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$.
Neem dan $a=45^\circ$ en $b=30^\circ$.

Nu kun je gebruikmakend van de rechthoekige $\Delta CPQ$ de lengte van $PQ$ uitdrukken in $x$. En dus $PR$ ook. Dat zou je de informatie moeten geven om $AP$ (en $BP$) te berekenen.

Succes! Als je meer hulp nodig hebt, hoor ik het wel.

Groet,

dinsdag 28 augustus 2018

Re: Bewijs dat volgende driehoek gelijkzijdig is

©2001-2024 WisFaq