Vorm voor particuliere oplossing

Ik zou graag even bevestiging hebben of mijn antwoorden op de volgende vragen correct zijn, Alvast bedankt!

Welke vorm zou je voorstellen voor een particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking y' + 9y = 5sin3x - 7e^-x

A) y = a sin3x + b cos3x + ce^-x (a,b,c element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen)
B) y = ax sin3x + b cos3x + ce^-x (a,b,c element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen)
C) y = ax sin3x + bx cos3x + ce^-x(a,b,c element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen)
D) y = ax sin3x+ bx cos 3x + cxe^-x

Ik vermoed antwoord D (omdat 0 een oplossing is van de homogene vergelijking)

vraag 2:
Beschouw de differentievergelijking y_n+2 + ay_n+1 + by_n = 4n3ⁿ waarbij a,b element van $\mathbf{R}$ getallen zijn waarvan je weet dat 9 + 3a +b = 0 en b =/ 0. Welke vorm zou je voorstellen voor een particuliere oplossing y_p?

A) y_p,n = dn3ⁿ met d element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen
B) y_p,n = (dn+ e)·3ⁿ met d,e element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen
C) y_p,n = dn²3ⁿ met d elemnt van $\mathbf{R}$ nader te bepalen.
D) y_p,n = (dn² + en)3ⁿ met d, e element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen

hier denk ik dat het antwoord A zal zijn

Lotte
Student universiteit België - donderdag 7 juni 2018

Antwoord

Beste Lotte,

1) Voor de term $-7e^{-x}$ is het niet nodig om $cxe^{-x}$ voor te stellen in de particuliere oplossing omdat $e^{-x}$ geen oplossing is van de homogene vergelijking of, equivalent daarmee, omdat $-1$ geen oplossing is van de bijhorende karakteristieke vergelijking.

Anderzijds zijn $\sin(3x)$ en $\cos(3x)$ wél oplossingen van de homogene vergelijking dus in je voorstel dienen deze termen met $x$ vermenigvuldigd te worden; je komt zo tot C als voorstel voor de particuliere oplossing.

2) Ik zou je theorie hierover toch nog eens grondig nalezen. Als $3^n$ geen oplossing is van de homogene vergelijking, zou je op basis van het rechterlid voor voorstel B moeten gaan: het product van een eerstegraadsveelterm met $3^n$.

Hier is $3^n$ echter wél een oplossing van de homogene vergelijking: $3$ is immers een oplossing van de karakteristieke vergelijking, dat haal je uit de voorwaarde $9 + 3a +b = 0$. Je moet je voorstel dus nog met $n$ vermenigvuldigen en zo kom je bij D.

mvg,
Tom

donderdag 7 juni 2018

©2001-2024 WisFaq