Richtingsafgeleiden

Ik heb moeite met het oplossen van deze oefening, ik heb geen idee hoe eraan te beginnen, ik hoop dat jullie me kunnen helpen, Alvast bedankt!

In een bepaald economisch model beschrijft men de verbanden tussen vier eco- nomische grootheden, x,y,u en v. Aan de hand van twee vergelijkingen:

x+f(y,u,v,) = 5 (·)
g(x+y,u) - 7v = 3 (·)

Hierin zijn f:$\mathbf{R}$³ $\to\mathbf{R}$ en g: $\mathbf{R}$² $\to\mathbf{R}$ functies met contunue partiele afgeleiden.
Een expliciet functievoorschrift voor f en g heeft men niet. Uit economische overwegingen weet men wel dat

D₁f(r,s,t) $>$ D₂f(r,s,t) $>$ D₃f(r,s,t) $>$ 1 voor alle r,s,t element van $\mathbf{R}$³

D₂g(s,t) $<$ D₂g(s,t) $<$0 voor alle s,t element van $\mathbf{R}$²

De variabelen u en t kunnen als exogeen beschouwd worden; de variabelen z en v zijn endogeen. We vatten (·) dus op als een stelsel voor x en y met u en v als parameters. Veronderstel dat de huidige waarde van de vier grootheden gegeven wordt door (x^·,y^·,u ^·,v ^·), een viertal dat dus voldoet aan (·).

a) Argumenteer nauwkeurig (op basis van de impliciete functiestelling) waarom het stelsel (·), voor waarden van u en v die dicht genoeg liggen bij u ^· resp. v^·, een unieke oplossing (x,y) in de buurt van (x^·,^·) heeft.

b)Uit het vorige volgt dat de endogene grootheden x en y eenduidig functie zijn van de exogene variabelen u en v (althans voor waarden van u env in de buurt van u^· resp. v^·. Veronderstel nu dat u stijgt en dat v constant blijft. Onderzoek wat er dientengevolge met x zal gebeuren. Zal de grootheid x stijgen of dalen?

Lotte
Student universiteit België - vrijdag 1 juni 2018

Antwoord

a) Lees de formulering van de stelling nog eens goed.
De gegeven vergelijkingen zien er uit als $F_1(x,y,u,v)=5$ en $F_2(x,y,u,v)=3$. Je moet de Jacobiaan van de functie $(F_1,F_2)$ opschrijven:
$$
\left(\begin{array}{cccc} D_xF_1& D_yF_1 & D_uF_1 &D_vF_1\\
D_xF_2& D_yF_2 & D_uF_2 &D_vF_2\end{array}\right)
$$die partiële afgeleiden kun je uitdrukken in $D_1f$, tot en met $D_2g$. Controleer dan dat de $2\times2$-matrix die bij de kolommen met $D_x$ en $D_y$ hoort inverteerbaar is (de determinant is $D_1g(1-D_1f)$).
b) De stelling geeft ook een formule voor $\frac{\partial x}{\partial u}$:
$$
\frac{D_2f\cdot D_1g-D_1f\cdot D_2g}{D_1g\cdot(D_1f-1)}
$$met de gegevens kun je nu bepalen of die afgeleide positief of negatief is.

kphart
vrijdag 1 juni 2018

Re: Richtingsafgeleiden

©2001-2024 WisFaq