Som oneindig aantal continue functies

Beste

Onlangs vertelde de prof ons dat de som van een oneindig aantal continue functies discontinu kan zijn. Ik begreep dit niet zo goed. Heeft dit dan iets te maken met convergentie of de stelling van Weierstrass? Kunt u me misschien een voorbeeld geven om dit te verduidelijken?

Alvast heel erg bedankt! Fijne feestdagen!

Emily
Student universiteit België - woensdag 27 december 2017

Antwoord

Beste Emily,

Dat klopt en dat is waarom jullie later wellicht het begrip van uniforme convergentie (versus 'puntsgewijze') invoeren: in dat geval is de reeks(som) van continue functies steeds continu.

De Weierstrass M-test is een criterium voor uniforme convergentie, dus daarmee ga je geen voorbeeld vinden.

Bekijk bijvoorbeeld de reeks functies $\sum f_n$ met
$$f_n(x) = \frac{x^2}{\left( 1+x^2 \right)^n}$$Voor elke $n$ is dit een continue functie en elke partieelsom is dus ook een continue functie. Voor $x \ne 0$ convergeert de reeks naar $1+x^2$ maar aangezien $f_n(0)=0$ voor elke $n$ geldt wel $f(0)=0$; dus:
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & x=0 \\
1+x^2 & x\neq 0\end{array}\right.$$en deze functie is niet continu (in $0$).

mvg,
Tom

woensdag 27 december 2017

©2001-2024 WisFaq