Galoisveld

Bij het opstellen van een galoisveld zoeken we ook een niet-reduceerbare veelterm. Maar voor wat zoeken we deze veelterm, wat is de betekenis daarvan. Waarom zijn dan ook twee velden van dezelfde vorm steeds isomorf op deze veelterm na?

Astrid
Student universiteit België - woensdag 29 november 2017

Antwoord

Dat zijn allemaal vragen waarop je het antwoord op college of in je boek kunt vinden.
- een eindig lichaam heeft altijd een macht van een priemgetal als aantal elementen
- de Galoislichamen zijn er om te laten zien dat voor elk priemgetal $p$ en elk natuurlijk getal $n$ er een lichaam is met $p^n$ elementen
- zo'n lichaam maak je als uitbreiding van $\mathbb{Z}_p$ en wel als splijtlichaam van een (irreducibel) polynoom
- als $q=p^n$ dat kun je een lichaam met $q$ elementen maken als splijtlichaam van $X^q-X$
- elk lichaam met $q=p^n$ elementen is splijtlichaam van $X^q-X$ (en elk element is nulpunt van dat polynoom)
- splijtlichamen van hetzelfde polynoom zijn isomorf.

Het is er dus allemaal op gericht aan te tonen dat er voor elke priemmacht $q$ op isomorfie na precies één lichaam met $q$ elementen is. Dat polynoom is er om dat `op isomorfie na één' te kunnen bewijzen.

En nu de collegestof weer gaan bestuderen.

kphart
woensdag 29 november 2017

©2001-2024 WisFaq