Conditionele verdelingen

De continue toevallige veranderlijke X is exponentieel verdeeld met parameter β = 1/2. Conditioneel op X = x, is Y uniform verdeeld over het open interval (0, exp(-x)).
Bewijs dat al deze uitspraken vals zijn:

A. X en Y zijn onafhankelijk.
B. fy(y) = 1−y als 0 $<$ y $<$ 1, 0 elders, voor alle y in R
C. f(x|y)(X|1/2) = exp(−x) als x$>$0, voor alle x in R
D. var(Y) = 1

Dit was de vraag die we kregen, ik heb dat uitgewerkt aan de hand van de productregel maar eens daarna zit ik vast voor de berekening van fy(y) en f(x|y)(x|y) daar ik naar mijn weten een gegeven te kort heb. Kan iemand mij helpen?

Emma
Student universiteit België - dinsdag 25 juli 2017

Antwoord

Je kunt uit de gegevens de simultane dichtheid afleiden: de functie
$$
f(x,y)=\begin{cases}
\frac12\mathrm{e}^{\frac12x} & 0 $<$ y $<$ \mathrm{e}^{-x}\\
0 & \text{elders}
\end{cases}
$$
voldoet aan beide eisen: reken $P(X\le a)$ maar uit, en de verdeling is uniform op elk verticaal lijntje.
Ik krijg $P(Y\le b)=2\sqrt b-b$ voor $0\le b\le 1$, en dus $f_Y(y)=y^{-\frac12}-1$.
Je notatie bij de derde vraag begrijp ik niet helemaal, wat betekent $f(x\mathbin|y)(X\mathbin|1/2)$ precies? En in je uitleg staat weer een kleine $x$: $f(x\mathbin|y)(x\mathbin|y)$.

kphart
vrijdag 28 juli 2017

©2001-2024 WisFaq